Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28080 / 6804
↖ ↑ ↗
← N 80.513982°
W 25.751953°		 ← 100.66 m → N 80.513982°
W 25.746460°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 80.513077°
W 25.751953°		 ← 100.67 m →
10 133 m²		 N 80.513077°
W 25.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428474426269531 y=0.103828430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428474426269531 × 216)
    floor (0.428474426269531 × 65536)
    floor (28080.5)     		tx = 28080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103828430175781 × 216)
    floor (0.103828430175781 × 65536)
    floor (6804.5)     		ty = 6804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28080 / 6804 ti = "16/28080/6804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28080/6804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28080 ÷ 216
    28080 ÷ 65536     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6804 ÷ 216
    6804 ÷ 65536     		y = 0.10382080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10382080078125 × 2 - 1) × π
    0.7923583984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48926732347028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48926732347028))-π/2
    2×atan(12.0524423430586)-π/2
    2×1.48801520333154-π/2
    2.97603040666308-1.57079632675     		φ = 1.40523408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40523408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.513982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28080 KachelY 6804 -0.44945637 1.40523408 -25.751953 80.513982
    Oben rechts KachelX + 1 28081 KachelY 6804 -0.44936050 1.40523408 -25.746460 80.513982
    Unten links KachelX 28080 KachelY + 1 6805 -0.44945637 1.40521828 -25.751953 80.513077
    Unten rechts KachelX + 1 28081 KachelY + 1 6805 -0.44936050 1.40521828 -25.746460 80.513077
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40523408-1.40521828) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dl = 100.661800000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40523408-1.40521828) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dr = 100.661800000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(1.40523408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164806915558138 × 6371000     		do = 100.662048434331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(1.40521828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164822499485982 × 6371000     		du = 100.671566906867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40523408)-sin(1.40521828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164806915558138-0.164822499485982)×R²
    abs(-0.44936050--0.44945637)×1.55839278438985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55839278438985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55839278438985e-05×40589641000000     		ar = 10133.302060352m²