Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28080 / 6802
↖ ↑ ↗
← N 80.515793°
W 25.751953°		 ← 100.64 m → N 80.515793°
W 25.746460°		 →
↑
100.66 m
↓
↑
100.66 m
↓
N 80.514887°
W 25.751953°		 ← 100.65 m →
10 131 m²		 N 80.514887°
W 25.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428474426269531 y=0.103797912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428474426269531 × 216)
    floor (0.428474426269531 × 65536)
    floor (28080.5)     		tx = 28080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103797912597656 × 216)
    floor (0.103797912597656 × 65536)
    floor (6802.5)     		ty = 6802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28080 / 6802 ti = "16/28080/6802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28080/6802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28080 ÷ 216
    28080 ÷ 65536     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6802 ÷ 216
    6802 ÷ 65536     		y = 0.103790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103790283203125 × 2 - 1) × π
    0.79241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48945907106876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48945907106876))-π/2
    2×atan(12.0547535915148)-π/2
    2×1.48803100250262-π/2
    2.97606200500524-1.57079632675     		φ = 1.40526568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40526568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.515793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28080 KachelY 6802 -0.44945637 1.40526568 -25.751953 80.515793
    Oben rechts KachelX + 1 28081 KachelY 6802 -0.44936050 1.40526568 -25.746460 80.515793
    Unten links KachelX 28080 KachelY + 1 6803 -0.44945637 1.40524988 -25.751953 80.514887
    Unten rechts KachelX + 1 28081 KachelY + 1 6803 -0.44936050 1.40524988 -25.746460 80.514887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40526568-1.40524988) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dl = 100.661800000773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40526568-1.40524988) × R
    1.58000000001213e-05 × 6371000     		dr = 100.661800000773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(1.40526568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164775747579027 × 6371000     		do = 100.643011413875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(1.40524988) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164791331589152 × 6371000     		du = 100.652529936667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40526568)-sin(1.40524988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164775747579027-0.164791331589152)×R²
    abs(-0.44936050--0.44945637)×1.55840101248028e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55840101248028e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55840101248028e-05×40589641000000     		ar = 10131.3857621689m²