Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28080 / 22269
↖ ↑ ↗
← N 49.848610°
W 25.751953°		 ← 393.84 m → N 49.848610°
W 25.746460°		 →
↑
393.86 m
↓
↑
393.86 m
↓
N 49.845068°
W 25.751953°		 ← 393.87 m →
155 122 m²		 N 49.845068°
W 25.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428474426269531 y=0.339805603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428474426269531 × 216)
    floor (0.428474426269531 × 65536)
    floor (28080.5)     		tx = 28080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339805603027344 × 216)
    floor (0.339805603027344 × 65536)
    floor (22269.5)     		ty = 22269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28080 / 22269 ti = "16/28080/22269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28080/22269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28080 ÷ 216
    28080 ÷ 65536     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22269 ÷ 216
    22269 ÷ 65536     		y = 0.339797973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339797973632812 × 2 - 1) × π
    0.320404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00657901822194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00657901822194))-π/2
    2×atan(2.73622441171386)-π/2
    2×1.22040934725789-π/2
    2.44081869451578-1.57079632675     		φ = 0.87002237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87002237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.848610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28080 KachelY 22269 -0.44945637 0.87002237 -25.751953 49.848610
    Oben rechts KachelX + 1 28081 KachelY 22269 -0.44936050 0.87002237 -25.746460 49.848610
    Unten links KachelX 28080 KachelY + 1 22270 -0.44945637 0.86996055 -25.751953 49.845068
    Unten rechts KachelX + 1 28081 KachelY + 1 22270 -0.44936050 0.86996055 -25.746460 49.845068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87002237-0.86996055) × R
    6.18199999999902e-05 × 6371000     		dl = 393.855219999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87002237-0.86996055) × R
    6.18199999999902e-05 × 6371000     		dr = 393.855219999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(0.87002237) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64480944904034 × 6371000     		do = 393.841725454269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(0.86996055) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644856699514786 × 6371000     		du = 393.870585466188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87002237)-sin(0.86996055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64480944904034-0.644856699514786)×R²
    abs(-0.44936050--0.44945637)×4.72504744460922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72504744460922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72504744460922e-05×40589641000000     		ar = 155122.302806587m²