Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28080 / 22192
↖ ↑ ↗
← N 50.120578°
W 25.751953°		 ← 391.62 m → N 50.120578°
W 25.746460°		 →
↑
391.63 m
↓
↑
391.63 m
↓
N 50.117056°
W 25.751953°		 ← 391.65 m →
153 374 m²		 N 50.117056°
W 25.746460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428474426269531 y=0.338630676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428474426269531 × 216)
    floor (0.428474426269531 × 65536)
    floor (28080.5)     		tx = 28080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338630676269531 × 216)
    floor (0.338630676269531 × 65536)
    floor (22192.5)     		ty = 22192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28080 / 22192 ti = "16/28080/22192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28080/22192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28080 ÷ 216
    28080 ÷ 65536     		x = 0.428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22192 ÷ 216
    22192 ÷ 65536     		y = 0.338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.14306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44945637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    0.32275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01396130076343
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44945637} λ = -0.44945637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01396130076343))-π/2
    2×atan(2.75649873673997)-π/2
    2×1.22278271879434-π/2
    2.44556543758868-1.57079632675     		φ = 0.87476911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44945637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87476911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.120578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28080 KachelY 22192 -0.44945637 0.87476911 -25.751953 50.120578
    Oben rechts KachelX + 1 28081 KachelY 22192 -0.44936050 0.87476911 -25.746460 50.120578
    Unten links KachelX 28080 KachelY + 1 22193 -0.44945637 0.87470764 -25.751953 50.117056
    Unten rechts KachelX + 1 28081 KachelY + 1 22193 -0.44936050 0.87470764 -25.746460 50.117056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87476911-0.87470764) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dl = 391.62537000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87476911-0.87470764) × R
    6.14700000000079e-05 × 6371000     		dr = 391.62537000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(0.87476911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641174059195149 × 6371000     		do = 391.621273797644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44945637--0.44936050) × cos(0.87470764) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641221229784041 × 6371000     		du = 391.650085016443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87476911)-sin(0.87470764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641174059195149-0.641221229784041)×R²
    abs(-0.44936050--0.44945637)×4.71705888921425e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71705888921425e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71705888921425e-05×40589641000000     		ar = 153374.467901235m²