Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2808 / 5976
↖ ↑ ↗
← S 63.391522°
W 56.601563°		 ← 2 188.62 m → S 63.391522°
W 56.557617°		 →
↑
2 187.87 m
↓
↑
2 187.87 m
↓
S 63.411198°
W 56.601563°		 ← 2 187.12 m →
4 786 760 m²		 S 63.411198°
W 56.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.34283447265625 y=0.72955322265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.34283447265625 × 213)
    floor (0.34283447265625 × 8192)
    floor (2808.5)     		tx = 2808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72955322265625 × 213)
    floor (0.72955322265625 × 8192)
    floor (5976.5)     		ty = 5976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2808 / 5976 ti = "13/2808/5976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2808/5976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2808 ÷ 213
    2808 ÷ 8192     		x = 0.3427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5976 ÷ 213
    5976 ÷ 8192     		y = 0.7294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3427734375 × 2 - 1) × π
    -0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7294921875 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98788363} λ = -0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44194194057129))-π/2
    2×atan(0.236468105509096)-π/2
    2×0.232202777265412-π/2
    0.464405554530824-1.57079632675     		φ = -1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2808 KachelY 5976 -0.98788363 -1.10639077 -56.601563 -63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 2809 KachelY 5976 -0.98711664 -1.10639077 -56.557617 -63.391522
    Unten links KachelX 2808 KachelY + 1 5977 -0.98788363 -1.10673418 -56.601563 -63.411198
    Unten rechts KachelX + 1 2809 KachelY + 1 5977 -0.98711664 -1.10673418 -56.557617 -63.411198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10639077--1.10673418) × R
    0.000343409999999933 × 6371000     		dl = 2187.86510999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10639077--1.10673418) × R
    0.000343409999999933 × 6371000     		dr = 2187.86510999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98788363--0.98711664) × cos(-1.10639077) × R
    0.000766990000000023 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 2188.61830165591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98788363--0.98711664) × cos(-1.10673418) × R
    0.000766990000000023 × 0.447584330939125 × 6371000     		du = 2187.11782984324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10639077)-sin(-1.10673418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.447584330939125)×R²
    abs(-0.98711664--0.98788363)×0.000307065153602348×R²
    0.000766990000000023×0.000307065153602348×6371000²
    0.000766990000000023×0.000307065153602348×40589641000000     		ar = 4786760.25337847m²