Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28079 / 14705
↖ ↑ ↗
← N 69.928415°
W 25.757446°		 ← 209.62 m → N 69.928415°
W 25.751953°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
N 69.926530°
W 25.757446°		 ← 209.64 m →
43 939 m²		 N 69.926530°
W 25.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428459167480469 y=0.224388122558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428459167480469 × 216)
    floor (0.428459167480469 × 65536)
    floor (28079.5)     		tx = 28079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224388122558594 × 216)
    floor (0.224388122558594 × 65536)
    floor (14705.5)     		ty = 14705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28079 / 14705 ti = "16/28079/14705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28079/14705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28079 ÷ 216
    28079 ÷ 65536     		x = 0.428451538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14705 ÷ 216
    14705 ÷ 65536     		y = 0.224380493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428451538085938 × 2 - 1) × π
    -0.143096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.44955224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224380493164062 × 2 - 1) × π
    0.551239013671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73176843567415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44955224} λ = -0.44955224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73176843567415))-π/2
    2×atan(5.65063786741818)-π/2
    2×1.39563870496821-π/2
    2.79127740993643-1.57079632675     		φ = 1.22048108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44955224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.757446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22048108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.928415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28079 KachelY 14705 -0.44955224 1.22048108 -25.757446 69.928415
    Oben rechts KachelX + 1 28080 KachelY 14705 -0.44945637 1.22048108 -25.751953 69.928415
    Unten links KachelX 28079 KachelY + 1 14706 -0.44955224 1.22044818 -25.757446 69.926530
    Unten rechts KachelX + 1 28080 KachelY + 1 14706 -0.44945637 1.22044818 -25.751953 69.926530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22048108-1.22044818) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dl = 209.605900000722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22048108-1.22044818) × R
    3.29000000001134e-05 × 6371000     		dr = 209.605900000722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44955224--0.44945637) × cos(1.22048108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3431939246488 × 6371000     		do = 209.618651913784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44955224--0.44945637) × cos(1.22044818) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.343224826267368 × 6371000     		du = 209.637526244478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22048108)-sin(1.22044818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3431939246488-0.343224826267368)×R²
    abs(-0.44945637--0.44955224)×3.09016185677247e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.09016185677247e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.09016185677247e-05×40589641000000     		ar = 43939.2842806692m²