Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28077 / 22185
↖ ↑ ↗
← N 50.145226°
W 25.768432°		 ← 391.42 m → N 50.145226°
W 25.762940°		 →
↑
391.43 m
↓
↑
391.43 m
↓
N 50.141706°
W 25.768432°		 ← 391.45 m →
153 221 m²		 N 50.141706°
W 25.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428428649902344 y=0.338523864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428428649902344 × 216)
    floor (0.428428649902344 × 65536)
    floor (28077.5)     		tx = 28077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338523864746094 × 216)
    floor (0.338523864746094 × 65536)
    floor (22185.5)     		ty = 22185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28077 / 22185 ti = "16/28077/22185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28077/22185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28077 ÷ 216
    28077 ÷ 65536     		x = 0.428421020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22185 ÷ 216
    22185 ÷ 65536     		y = 0.338516235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428421020507812 × 2 - 1) × π
    -0.143157958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.44974399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338516235351562 × 2 - 1) × π
    0.322967529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01463241735811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44974399} λ = -0.44974399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01463241735811))-π/2
    2×atan(2.75834928968435)-π/2
    2×1.22299781466988-π/2
    2.44599562933977-1.57079632675     		φ = 0.87519930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44974399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.768432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87519930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.145226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28077 KachelY 22185 -0.44974399 0.87519930 -25.768432 50.145226
    Oben rechts KachelX + 1 28078 KachelY 22185 -0.44964812 0.87519930 -25.762940 50.145226
    Unten links KachelX 28077 KachelY + 1 22186 -0.44974399 0.87513786 -25.768432 50.141706
    Unten rechts KachelX + 1 28078 KachelY + 1 22186 -0.44964812 0.87513786 -25.762940 50.141706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87519930-0.87513786) × R
    6.14399999999682e-05 × 6371000     		dl = 391.434239999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87519930-0.87513786) × R
    6.14399999999682e-05 × 6371000     		dr = 391.434239999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44974399--0.44964812) × cos(0.87519930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640843874013988 × 6371000     		do = 391.419600727156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44974399--0.44964812) × cos(0.87513786) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640891038525248 × 6371000     		du = 391.448408233812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87519930)-sin(0.87513786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640843874013988-0.640891038525248)×R²
    abs(-0.44964812--0.44974399)×4.71645112601893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71645112601893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71645112601893e-05×40589641000000     		ar = 153220.672102255m²