Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28076 / 7108
↖ ↑ ↗
← N 80.234775°
W 25.773926°		 ← 103.61 m → N 80.234775°
W 25.768432°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
N 80.233843°
W 25.773926°		 ← 103.62 m →
10 733 m²		 N 80.233843°
W 25.768432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428413391113281 y=0.108467102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428413391113281 × 216)
    floor (0.428413391113281 × 65536)
    floor (28076.5)     		tx = 28076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108467102050781 × 216)
    floor (0.108467102050781 × 65536)
    floor (7108.5)     		ty = 7108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28076 / 7108 ti = "16/28076/7108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28076/7108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28076 ÷ 216
    28076 ÷ 65536     		x = 0.42840576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7108 ÷ 216
    7108 ÷ 65536     		y = 0.10845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42840576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1431884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44983987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10845947265625 × 2 - 1) × π
    0.7830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46012168850128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44983987} λ = -0.44983987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46012168850128))-π/2
    2×atan(11.7062359676214)-π/2
    2×1.48557865765726-π/2
    2.97115731531452-1.57079632675     		φ = 1.40036099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44983987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40036099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.234775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28076 KachelY 7108 -0.44983987 1.40036099 -25.773926 80.234775
    Oben rechts KachelX + 1 28077 KachelY 7108 -0.44974399 1.40036099 -25.768432 80.234775
    Unten links KachelX 28076 KachelY + 1 7109 -0.44983987 1.40034473 -25.773926 80.233843
    Unten rechts KachelX + 1 28077 KachelY + 1 7109 -0.44974399 1.40034473 -25.768432 80.233843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40036099-1.40034473) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40036099-1.40034473) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44983987--0.44974399) × cos(1.40036099) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.169611394335408 × 6371000     		do = 103.60737125464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44983987--0.44974399) × cos(1.40034473) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.169627418722207 × 6371000     		du = 103.617159775032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40036099)-sin(1.40034473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169611394335408-0.169627418722207)×R²
    abs(-0.44974399--0.44983987)×1.60243867989573e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.60243867989573e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.60243867989573e-05×40589641000000     		ar = 10733.4494707885m²