Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28075 / 22166
↖ ↑ ↗
← N 50.212065°
W 25.779419°		 ← 390.87 m → N 50.212065°
W 25.773926°		 →
↑
390.92 m
↓
↑
390.92 m
↓
N 50.208549°
W 25.779419°		 ← 390.90 m →
152 807 m²		 N 50.208549°
W 25.773926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428398132324219 y=0.338233947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428398132324219 × 216)
    floor (0.428398132324219 × 65536)
    floor (28075.5)     		tx = 28075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338233947753906 × 216)
    floor (0.338233947753906 × 65536)
    floor (22166.5)     		ty = 22166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28075 / 22166 ti = "16/28075/22166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28075/22166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28075 ÷ 216
    28075 ÷ 65536     		x = 0.428390502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22166 ÷ 216
    22166 ÷ 65536     		y = 0.338226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428390502929688 × 2 - 1) × π
    -0.143218994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.44993574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338226318359375 × 2 - 1) × π
    0.32354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01645401954367
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.44993574} λ = -0.44993574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01645401954367))-π/2
    2×atan(2.76337848398397)-π/2
    2×1.22358108791917-π/2
    2.44716217583834-1.57079632675     		φ = 0.87636585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.44993574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.779419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87636585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.212065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28075 KachelY 22166 -0.44993574 0.87636585 -25.779419 50.212065
    Oben rechts KachelX + 1 28076 KachelY 22166 -0.44983987 0.87636585 -25.773926 50.212065
    Unten links KachelX 28075 KachelY + 1 22167 -0.44993574 0.87630449 -25.779419 50.208549
    Unten rechts KachelX + 1 28076 KachelY + 1 22167 -0.44983987 0.87630449 -25.773926 50.208549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87636585-0.87630449) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dl = 390.924560000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87636585-0.87630449) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dr = 390.924560000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.44993574--0.44983987) × cos(0.87636585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639947911292213 × 6371000     		do = 390.87235765432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.44993574--0.44983987) × cos(0.87630449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639995060233836 × 6371000     		du = 390.901155651232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87636585)-sin(0.87630449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639947911292213-0.639995060233836)×R²
    abs(-0.44983987--0.44993574)×4.71489416238313e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71489416238313e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71489416238313e-05×40589641000000     		ar = 152807.233402227m²