Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28072 / 21608
↖ ↑ ↗
← N 52.133488°
W 25.795898°		 ← 374.92 m → N 52.133488°
W 25.790405°		 →
↑
374.93 m
↓
↑
374.93 m
↓
N 52.130116°
W 25.795898°		 ← 374.94 m →
140 574 m²		 N 52.130116°
W 25.790405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428352355957031 y=0.329719543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428352355957031 × 216)
    floor (0.428352355957031 × 65536)
    floor (28072.5)     		tx = 28072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329719543457031 × 216)
    floor (0.329719543457031 × 65536)
    floor (21608.5)     		ty = 21608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28072 / 21608 ti = "16/28072/21608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28072/21608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28072 ÷ 216
    28072 ÷ 65536     		x = 0.4283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21608 ÷ 216
    21608 ÷ 65536     		y = 0.3297119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45022336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3297119140625 × 2 - 1) × π
    0.340576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06995159951965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45022336} λ = -0.45022336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06995159951965))-π/2
    2×atan(2.91523839762354)-π/2
    2×1.24034867181834-π/2
    2.48069734363668-1.57079632675     		φ = 0.90990102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45022336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.795898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90990102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.133488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28072 KachelY 21608 -0.45022336 0.90990102 -25.795898 52.133488
    Oben rechts KachelX + 1 28073 KachelY 21608 -0.45012749 0.90990102 -25.790405 52.133488
    Unten links KachelX 28072 KachelY + 1 21609 -0.45022336 0.90984217 -25.795898 52.130116
    Unten rechts KachelX + 1 28073 KachelY + 1 21609 -0.45012749 0.90984217 -25.790405 52.130116
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90990102-0.90984217) × R
    5.88499999999437e-05 × 6371000     		dl = 374.933349999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90990102-0.90984217) × R
    5.88499999999437e-05 × 6371000     		dr = 374.933349999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45022336--0.45012749) × cos(0.90990102) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613823891562393 × 6371000     		do = 374.916125900107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45022336--0.45012749) × cos(0.90984217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.613870349219231 × 6371000     		du = 374.944501668727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90990102)-sin(0.90984217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613823891562393-0.613870349219231)×R²
    abs(-0.45012749--0.45022336)×4.64576568387498e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64576568387498e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64576568387498e-05×40589641000000     		ar = 140573.878604165m²