Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28069 / 21617
↖ ↑ ↗
← N 52.103131°
W 25.812378°		 ← 375.17 m → N 52.103131°
W 25.806885°		 →
↑
375.19 m
↓
↑
375.19 m
↓
N 52.099757°
W 25.812378°		 ← 375.20 m →
140 765 m²		 N 52.099757°
W 25.806885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428306579589844 y=0.329856872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428306579589844 × 216)
    floor (0.428306579589844 × 65536)
    floor (28069.5)     		tx = 28069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329856872558594 × 216)
    floor (0.329856872558594 × 65536)
    floor (21617.5)     		ty = 21617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28069 / 21617 ti = "16/28069/21617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28069/21617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28069 ÷ 216
    28069 ÷ 65536     		x = 0.428298950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21617 ÷ 216
    21617 ÷ 65536     		y = 0.329849243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428298950195312 × 2 - 1) × π
    -0.143402099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45051098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329849243164062 × 2 - 1) × π
    0.340301513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06908873532649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45051098} λ = -0.45051098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06908873532649))-π/2
    2×atan(2.91272402773158)-π/2
    2×1.24008375828425-π/2
    2.4801675165685-1.57079632675     		φ = 0.90937119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45051098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.812378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90937119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.103131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28069 KachelY 21617 -0.45051098 0.90937119 -25.812378 52.103131
    Oben rechts KachelX + 1 28070 KachelY 21617 -0.45041511 0.90937119 -25.806885 52.103131
    Unten links KachelX 28069 KachelY + 1 21618 -0.45051098 0.90931230 -25.812378 52.099757
    Unten rechts KachelX + 1 28070 KachelY + 1 21618 -0.45041511 0.90931230 -25.806885 52.099757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90937119-0.90931230) × R
    5.88900000000336e-05 × 6371000     		dl = 375.188190000214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90937119-0.90931230) × R
    5.88900000000336e-05 × 6371000     		dr = 375.188190000214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45051098--0.45041511) × cos(0.90937119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614242075964501 × 6371000     		do = 375.17154781852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45051098--0.45041511) × cos(0.90931230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.614288546038022 × 6371000     		du = 375.199931171097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90937119)-sin(0.90931230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614242075964501-0.614288546038022)×R²
    abs(-0.45041511--0.45051098)×4.64700735213208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64700735213208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64700735213208e-05×40589641000000     		ar = 140765.258555607m²