Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28066 / 43490
↖ ↑ ↗
← S 50.632042°
W 25.828857°		 ← 387.42 m → S 50.632042°
W 25.823364°		 →
↑
387.42 m
↓
↑
387.42 m
↓
S 50.635526°
W 25.828857°		 ← 387.39 m →
150 090 m²		 S 50.635526°
W 25.823364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428260803222656 y=0.663612365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428260803222656 × 216)
    floor (0.428260803222656 × 65536)
    floor (28066.5)     		tx = 28066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663612365722656 × 216)
    floor (0.663612365722656 × 65536)
    floor (43490.5)     		ty = 43490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28066 / 43490 ti = "16/28066/43490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28066/43490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28066 ÷ 216
    28066 ÷ 65536     		x = 0.428253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43490 ÷ 216
    43490 ÷ 65536     		y = 0.663604736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.14349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45079860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663604736328125 × 2 - 1) × π
    -0.32720947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02795887545248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45079860} λ = -0.45079860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02795887545248))-π/2
    2×atan(0.357736400425549)-π/2
    2×0.343550241804779-π/2
    0.687100483609558-1.57079632675     		φ = -0.88369584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45079860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.828857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88369584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.632042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28066 KachelY 43490 -0.45079860 -0.88369584 -25.828857 -50.632042
    Oben rechts KachelX + 1 28067 KachelY 43490 -0.45070273 -0.88369584 -25.823364 -50.632042
    Unten links KachelX 28066 KachelY + 1 43491 -0.45079860 -0.88375665 -25.828857 -50.635526
    Unten rechts KachelX + 1 28067 KachelY + 1 43491 -0.45070273 -0.88375665 -25.823364 -50.635526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88369584--0.88375665) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dl = 387.420510000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88369584--0.88375665) × R
    6.08100000000222e-05 × 6371000     		dr = 387.420510000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45079860--0.45070273) × cos(-0.88369584) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634298271612058 × 6371000     		do = 387.421626832775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45079860--0.45070273) × cos(-0.88375665) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634251258932593 × 6371000     		du = 387.392912063123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88369584)-sin(-0.88375665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634298271612058-0.634251258932593)×R²
    abs(-0.45070273--0.45079860)×4.70126794644976e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70126794644976e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70126794644976e-05×40589641000000     		ar = 150089.521953417m²