Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28066 / 22250
↖ ↑ ↗
← N 49.915862°
W 25.828857°		 ← 393.29 m → N 49.915862°
W 25.823364°		 →
↑
393.35 m
↓
↑
393.35 m
↓
N 49.912325°
W 25.828857°		 ← 393.32 m →
154 706 m²		 N 49.912325°
W 25.823364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428260803222656 y=0.339515686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428260803222656 × 216)
    floor (0.428260803222656 × 65536)
    floor (28066.5)     		tx = 28066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339515686035156 × 216)
    floor (0.339515686035156 × 65536)
    floor (22250.5)     		ty = 22250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28066 / 22250 ti = "16/28066/22250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28066/22250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28066 ÷ 216
    28066 ÷ 65536     		x = 0.428253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22250 ÷ 216
    22250 ÷ 65536     		y = 0.339508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428253173828125 × 2 - 1) × π
    -0.14349365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45079860
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339508056640625 × 2 - 1) × π
    0.32098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.0084006204075
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45079860} λ = -0.45079860}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0084006204075))-π/2
    2×atan(2.74121326655735)-π/2
    2×1.22099623161237-π/2
    2.44199246322475-1.57079632675     		φ = 0.87119614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45079860} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.828857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87119614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.915862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28066 KachelY 22250 -0.45079860 0.87119614 -25.828857 49.915862
    Oben rechts KachelX + 1 28067 KachelY 22250 -0.45070273 0.87119614 -25.823364 49.915862
    Unten links KachelX 28066 KachelY + 1 22251 -0.45079860 0.87113440 -25.828857 49.912325
    Unten rechts KachelX + 1 28067 KachelY + 1 22251 -0.45070273 0.87113440 -25.823364 49.912325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87119614-0.87113440) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dl = 393.345540000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87119614-0.87113440) × R
    6.17400000000323e-05 × 6371000     		dr = 393.345540000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45079860--0.45070273) × cos(0.87119614) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643911841750251 × 6371000     		do = 393.29347789922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45079860--0.45070273) × cos(0.87113440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.643959077778019 × 6371000     		du = 393.322329087284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87119614)-sin(0.87113440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643911841750251-0.643959077778019)×R²
    abs(-0.45070273--0.45079860)×4.72360277683492e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72360277683492e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72360277683492e-05×40589641000000     		ar = 154705.909735222m²