Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28065 / 9503
↖ ↑ ↗
← N 77.731450°
W 25.834351°		 ← 129.80 m → N 77.731450°
W 25.828857°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 77.730283°
W 25.834351°		 ← 129.81 m →
16 846 m²		 N 77.730283°
W 25.828857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428245544433594 y=0.145011901855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428245544433594 × 216)
    floor (0.428245544433594 × 65536)
    floor (28065.5)     		tx = 28065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145011901855469 × 216)
    floor (0.145011901855469 × 65536)
    floor (9503.5)     		ty = 9503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28065 / 9503 ti = "16/28065/9503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28065/9503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28065 ÷ 216
    28065 ÷ 65536     		x = 0.428237915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9503 ÷ 216
    9503 ÷ 65536     		y = 0.145004272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428237915039062 × 2 - 1) × π
    -0.143524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45089448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145004272460938 × 2 - 1) × π
    0.709991455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23050393932121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45089448} λ = -0.45089448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23050393932121))-π/2
    2×atan(9.30455382875444)-π/2
    2×1.46373302796524-π/2
    2.92746605593048-1.57079632675     		φ = 1.35666973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45089448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.834351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35666973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.731450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28065 KachelY 9503 -0.45089448 1.35666973 -25.834351 77.731450
    Oben rechts KachelX + 1 28066 KachelY 9503 -0.45079860 1.35666973 -25.828857 77.731450
    Unten links KachelX 28065 KachelY + 1 9504 -0.45089448 1.35664936 -25.834351 77.730283
    Unten rechts KachelX + 1 28066 KachelY + 1 9504 -0.45079860 1.35664936 -25.828857 77.730283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35666973-1.35664936) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dl = 129.77726999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35666973-1.35664936) × R
    2.03699999998808e-05 × 6371000     		dr = 129.77726999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45089448--0.45079860) × cos(1.35666973) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.212494052721017 × 6371000     		do = 129.802306595822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45089448--0.45079860) × cos(1.35664936) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.212513957474201 × 6371000     		du = 129.814465443763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35666973)-sin(1.35664936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212494052721017-0.212513957474201)×R²
    abs(-0.45079860--0.45089448)×1.9904753183364e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.9904753183364e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.9904753183364e-05×40589641000000     		ar = 16846.1779612125m²