Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28063 / 14689
↖ ↑ ↗
← N 69.958557°
W 25.845337°		 ← 209.34 m → N 69.958557°
W 25.839844°		 →
↑
209.35 m
↓
↑
209.35 m
↓
N 69.956674°
W 25.845337°		 ← 209.36 m →
43 827 m²		 N 69.956674°
W 25.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428215026855469 y=0.224143981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428215026855469 × 216)
    floor (0.428215026855469 × 65536)
    floor (28063.5)     		tx = 28063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224143981933594 × 216)
    floor (0.224143981933594 × 65536)
    floor (14689.5)     		ty = 14689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28063 / 14689 ti = "16/28063/14689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28063/14689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28063 ÷ 216
    28063 ÷ 65536     		x = 0.428207397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14689 ÷ 216
    14689 ÷ 65536     		y = 0.224136352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428207397460938 × 2 - 1) × π
    -0.143585205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45108623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224136352539062 × 2 - 1) × π
    0.551727294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.73330241646199
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45108623} λ = -0.45108623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73330241646199))-π/2
    2×atan(5.65931248899625)-π/2
    2×1.39590174185817-π/2
    2.79180348371634-1.57079632675     		φ = 1.22100716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45108623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.845337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22100716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.958557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28063 KachelY 14689 -0.45108623 1.22100716 -25.845337 69.958557
    Oben rechts KachelX + 1 28064 KachelY 14689 -0.45099035 1.22100716 -25.839844 69.958557
    Unten links KachelX 28063 KachelY + 1 14690 -0.45108623 1.22097430 -25.845337 69.956674
    Unten rechts KachelX + 1 28064 KachelY + 1 14690 -0.45099035 1.22097430 -25.839844 69.956674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22100716-1.22097430) × R
    3.28600000001344e-05 × 6371000     		dl = 209.351060000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22100716-1.22097430) × R
    3.28600000001344e-05 × 6371000     		dr = 209.351060000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45108623--0.45099035) × cos(1.22100716) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.342699748876069 × 6371000     		do = 209.338648796559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45108623--0.45099035) × cos(1.22097430) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.34273061885329 × 6371000     		du = 209.357505767832m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22100716)-sin(1.22097430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342699748876069-0.34273061885329)×R²
    abs(-0.45099035--0.45108623)×3.08699772214593e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.08699772214593e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.08699772214593e-05×40589641000000     		ar = 43827.2418918364m²