Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28060 / 8045
↖ ↑ ↗
← N 79.321995°
W 25.861817°		 ← 113.18 m → N 79.321995°
W 25.856323°		 →
↑
113.15 m
↓
↑
113.15 m
↓
N 79.320978°
W 25.861817°		 ← 113.19 m →
12 807 m²		 N 79.320978°
W 25.856323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428169250488281 y=0.122764587402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428169250488281 × 216)
    floor (0.428169250488281 × 65536)
    floor (28060.5)     		tx = 28060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122764587402344 × 216)
    floor (0.122764587402344 × 65536)
    floor (8045.5)     		ty = 8045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28060 / 8045 ti = "16/28060/8045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28060/8045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28060 ÷ 216
    28060 ÷ 65536     		x = 0.42816162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8045 ÷ 216
    8045 ÷ 65536     		y = 0.122756958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    -0.1436767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45137385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122756958007812 × 2 - 1) × π
    0.754486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3702879386133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45137385} λ = -0.45137385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3702879386133))-π/2
    2×atan(10.7004729199069)-π/2
    2×1.47761315974579-π/2
    2.95522631949158-1.57079632675     		φ = 1.38442999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45137385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.861817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38442999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.321995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28060 KachelY 8045 -0.45137385 1.38442999 -25.861817 79.321995
    Oben rechts KachelX + 1 28061 KachelY 8045 -0.45127797 1.38442999 -25.856323 79.321995
    Unten links KachelX 28060 KachelY + 1 8046 -0.45137385 1.38441223 -25.861817 79.320978
    Unten rechts KachelX + 1 28061 KachelY + 1 8046 -0.45127797 1.38441223 -25.856323 79.320978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38442999-1.38441223) × R
    1.77600000001998e-05 × 6371000     		dl = 113.148960001273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38442999-1.38441223) × R
    1.77600000001998e-05 × 6371000     		dr = 113.148960001273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45137385--0.45127797) × cos(1.38442999) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18528938337376 × 6371000     		do = 113.184294062205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45137385--0.45127797) × cos(1.38441223) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185306835812382 × 6371000     		du = 113.194954910167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38442999)-sin(1.38441223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18528938337376-0.185306835812382)×R²
    abs(-0.45127797--0.45137385)×1.74524386225006e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74524386225006e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74524386225006e-05×40589641000000     		ar = 12807.2882935505m²