Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28059 / 22253
↖ ↑ ↗
← N 49.905249°
W 25.867310°		 ← 393.38 m → N 49.905249°
W 25.861817°		 →
↑
393.41 m
↓
↑
393.41 m
↓
N 49.901711°
W 25.867310°		 ← 393.41 m →
154 765 m²		 N 49.901711°
W 25.861817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428153991699219 y=0.339561462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428153991699219 × 216)
    floor (0.428153991699219 × 65536)
    floor (28059.5)     		tx = 28059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339561462402344 × 216)
    floor (0.339561462402344 × 65536)
    floor (22253.5)     		ty = 22253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28059 / 22253 ti = "16/28059/22253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28059/22253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28059 ÷ 216
    28059 ÷ 65536     		x = 0.428146362304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22253 ÷ 216
    22253 ÷ 65536     		y = 0.339553833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428146362304688 × 2 - 1) × π
    -0.143707275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45146972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339553833007812 × 2 - 1) × π
    0.320892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00811299900978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45146972} λ = -0.45146972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00811299900978))-π/2
    2×atan(2.7404249483402)-π/2
    2×1.22090362001091-π/2
    2.44180724002182-1.57079632675     		φ = 0.87101091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45146972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.867310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87101091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.905249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28059 KachelY 22253 -0.45146972 0.87101091 -25.867310 49.905249
    Oben rechts KachelX + 1 28060 KachelY 22253 -0.45137385 0.87101091 -25.861817 49.905249
    Unten links KachelX 28059 KachelY + 1 22254 -0.45146972 0.87094916 -25.867310 49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 28060 KachelY + 1 22254 -0.45137385 0.87094916 -25.861817 49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87101091-0.87094916) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dl = 393.409249999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87101091-0.87094916) × R
    6.17499999999715e-05 × 6371000     		dr = 393.409249999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45146972--0.45137385) × cos(0.87101091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644053550119197 × 6371000     		do = 393.380031637879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45146972--0.45137385) × cos(0.87094916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 393.408882999703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87101091)-sin(0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644053550119197-0.644100786431451)×R²
    abs(-0.45137385--0.45146972)×4.72363122540065e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72363122540065e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72363122540065e-05×40589641000000     		ar = 154765.018457297m²