Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28058 / 8044
↖ ↑ ↗
← N 79.323014°
W 25.872802°		 ← 113.16 m → N 79.323014°
W 25.867310°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
N 79.321995°
W 25.872802°		 ← 113.17 m →
12 812 m²		 N 79.321995°
W 25.867310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428138732910156 y=0.122749328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428138732910156 × 216)
    floor (0.428138732910156 × 65536)
    floor (28058.5)     		tx = 28058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122749328613281 × 216)
    floor (0.122749328613281 × 65536)
    floor (8044.5)     		ty = 8044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28058 / 8044 ti = "16/28058/8044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28058/8044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28058 ÷ 216
    28058 ÷ 65536     		x = 0.428131103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8044 ÷ 216
    8044 ÷ 65536     		y = 0.12274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428131103515625 × 2 - 1) × π
    -0.14373779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45156559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12274169921875 × 2 - 1) × π
    0.7545166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37038381241254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45156559} λ = -0.45156559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37038381241254))-π/2
    2×atan(10.7014988640792)-π/2
    2×1.47762204152584-π/2
    2.95524408305167-1.57079632675     		φ = 1.38444776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45156559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.872802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38444776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.323014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28058 KachelY 8044 -0.45156559 1.38444776 -25.872802 79.323014
    Oben rechts KachelX + 1 28059 KachelY 8044 -0.45146972 1.38444776 -25.867310 79.323014
    Unten links KachelX 28058 KachelY + 1 8045 -0.45156559 1.38442999 -25.872802 79.321995
    Unten rechts KachelX + 1 28059 KachelY + 1 8045 -0.45146972 1.38442999 -25.867310 79.321995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38444776-1.38442999) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38444776-1.38442999) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45156559--0.45146972) × cos(1.38444776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185271921049821 × 6371000     		do = 113.161823501634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45156559--0.45146972) × cos(1.38442999) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18528938337376 × 6371000     		du = 113.172489275531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38444776)-sin(1.38442999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185271921049821-0.18528938337376)×R²
    abs(-0.45146972--0.45156559)×1.74623239386773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74623239386773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74623239386773e-05×40589641000000     		ar = 12811.9559313702m²