Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28057 / 8066
↖ ↑ ↗
← N 79.300600°
W 25.878296°		 ← 113.41 m → N 79.300600°
W 25.872802°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 79.299580°
W 25.878296°		 ← 113.42 m →
12 862 m²		 N 79.299580°
W 25.872802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428123474121094 y=0.123085021972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428123474121094 × 216)
    floor (0.428123474121094 × 65536)
    floor (28057.5)     		tx = 28057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123085021972656 × 216)
    floor (0.123085021972656 × 65536)
    floor (8066.5)     		ty = 8066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28057 / 8066 ti = "16/28057/8066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28057/8066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28057 ÷ 216
    28057 ÷ 65536     		x = 0.428115844726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8066 ÷ 216
    8066 ÷ 65536     		y = 0.123077392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428115844726562 × 2 - 1) × π
    -0.143768310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45166147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123077392578125 × 2 - 1) × π
    0.75384521484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36827458882925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45166147} λ = -0.45166147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36827458882925))-π/2
    2×atan(10.6789507981143)-π/2
    2×1.47742644894128-π/2
    2.95485289788256-1.57079632675     		φ = 1.38405657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45166147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.878296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38405657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.300600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28057 KachelY 8066 -0.45166147 1.38405657 -25.878296 79.300600
    Oben rechts KachelX + 1 28058 KachelY 8066 -0.45156559 1.38405657 -25.872802 79.300600
    Unten links KachelX 28057 KachelY + 1 8067 -0.45166147 1.38403877 -25.878296 79.299580
    Unten rechts KachelX + 1 28058 KachelY + 1 8067 -0.45156559 1.38403877 -25.872802 79.299580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38405657-1.38403877) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38405657-1.38403877) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45166147--0.45156559) × cos(1.38405657) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.18565632430601 × 6371000     		do = 113.408440473677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45166147--0.45156559) × cos(1.38403877) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.185673814818987 × 6371000     		du = 113.419124579415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38405657)-sin(1.38403877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18565632430601-0.185673814818987)×R²
    abs(-0.45156559--0.45166147)×1.74905129772807e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.74905129772807e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.74905129772807e-05×40589641000000     		ar = 12861.5539112007m²