Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28056 / 9584
↖ ↑ ↗
← N 77.636542°
W 25.883789°		 ← 130.78 m → N 77.636542°
W 25.878296°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
N 77.635365°
W 25.883789°		 ← 130.79 m →
17 106 m²		 N 77.635365°
W 25.878296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428108215332031 y=0.146247863769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428108215332031 × 216)
    floor (0.428108215332031 × 65536)
    floor (28056.5)     		tx = 28056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146247863769531 × 216)
    floor (0.146247863769531 × 65536)
    floor (9584.5)     		ty = 9584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28056 / 9584 ti = "16/28056/9584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28056/9584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28056 ÷ 216
    28056 ÷ 65536     		x = 0.4281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9584 ÷ 216
    9584 ÷ 65536     		y = 0.146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146240234375 × 2 - 1) × π
    0.70751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22273816158276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45175734} λ = -0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22273816158276))-π/2
    2×atan(9.23257657317856)-π/2
    2×1.46290479904407-π/2
    2.92580959808814-1.57079632675     		φ = 1.35501327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35501327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.636542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28056 KachelY 9584 -0.45175734 1.35501327 -25.883789 77.636542
    Oben rechts KachelX + 1 28057 KachelY 9584 -0.45166147 1.35501327 -25.878296 77.636542
    Unten links KachelX 28056 KachelY + 1 9585 -0.45175734 1.35499274 -25.883789 77.635365
    Unten rechts KachelX + 1 28057 KachelY + 1 9585 -0.45166147 1.35499274 -25.878296 77.635365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35501327-1.35499274) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35501327-1.35499274) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45175734--0.45166147) × cos(1.35501327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214112390816571 × 6371000     		do = 130.777229716219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45175734--0.45166147) × cos(1.35499274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.214132444660865 × 6371000     		du = 130.789478359055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35501327)-sin(1.35499274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214112390816571-0.214132444660865)×R²
    abs(-0.45166147--0.45175734)×2.00538442939879e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.00538442939879e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.00538442939879e-05×40589641000000     		ar = 17106.0219691813m²