Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28056 / 22168
↖ ↑ ↗
← N 50.205033°
W 25.883789°		 ← 390.93 m → N 50.205033°
W 25.878296°		 →
↑
390.92 m
↓
↑
390.92 m
↓
N 50.201518°
W 25.883789°		 ← 390.96 m →
152 830 m²		 N 50.201518°
W 25.878296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428108215332031 y=0.338264465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428108215332031 × 216)
    floor (0.428108215332031 × 65536)
    floor (28056.5)     		tx = 28056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338264465332031 × 216)
    floor (0.338264465332031 × 65536)
    floor (22168.5)     		ty = 22168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28056 / 22168 ti = "16/28056/22168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28056/22168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28056 ÷ 216
    28056 ÷ 65536     		x = 0.4281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22168 ÷ 216
    22168 ÷ 65536     		y = 0.3382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4281005859375 × 2 - 1) × π
    -0.143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45175734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3382568359375 × 2 - 1) × π
    0.323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01626227194519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45175734} λ = -0.45175734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01626227194519))-π/2
    2×atan(2.76284866359349)-π/2
    2×1.22351972916142-π/2
    2.44703945832284-1.57079632675     		φ = 0.87624313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45175734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87624313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.205033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28056 KachelY 22168 -0.45175734 0.87624313 -25.883789 50.205033
    Oben rechts KachelX + 1 28057 KachelY 22168 -0.45166147 0.87624313 -25.878296 50.205033
    Unten links KachelX 28056 KachelY + 1 22169 -0.45175734 0.87618177 -25.883789 50.201518
    Unten rechts KachelX + 1 28057 KachelY + 1 22169 -0.45166147 0.87618177 -25.878296 50.201518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87624313-0.87618177) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dl = 390.924560000066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87624313-0.87618177) × R
    6.13600000000103e-05 × 6371000     		dr = 390.924560000066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45175734--0.45166147) × cos(0.87624313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640042206765847 × 6371000     		do = 390.929952176382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45175734--0.45166147) × cos(0.87618177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.640089350888067 × 6371000     		du = 390.958747229662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87624313)-sin(0.87618177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640042206765847-0.640089350888067)×R²
    abs(-0.45166147--0.45175734)×4.71441222200664e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71441222200664e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71441222200664e-05×40589641000000     		ar = 152829.747939952m²