Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28051 / 21870
↖ ↑ ↗
← N 51.241286°
W 25.911255°		 ← 382.38 m → N 51.241286°
W 25.905762°		 →
↑
382.39 m
↓
↑
382.39 m
↓
N 51.237847°
W 25.911255°		 ← 382.41 m →
146 222 m²		 N 51.237847°
W 25.905762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428031921386719 y=0.333717346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428031921386719 × 216)
    floor (0.428031921386719 × 65536)
    floor (28051.5)     		tx = 28051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333717346191406 × 216)
    floor (0.333717346191406 × 65536)
    floor (21870.5)     		ty = 21870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28051 / 21870 ti = "16/28051/21870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28051/21870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28051 ÷ 216
    28051 ÷ 65536     		x = 0.428024291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21870 ÷ 216
    21870 ÷ 65536     		y = 0.333709716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428024291992188 × 2 - 1) × π
    -0.143951416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45223671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333709716796875 × 2 - 1) × π
    0.33258056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04483266411874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45223671} λ = -0.45223671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04483266411874))-π/2
    2×atan(2.84292276086126)-π/2
    2×1.23256273820505-π/2
    2.46512547641011-1.57079632675     		φ = 0.89432915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45223671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.911255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89432915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.241286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28051 KachelY 21870 -0.45223671 0.89432915 -25.911255 51.241286
    Oben rechts KachelX + 1 28052 KachelY 21870 -0.45214084 0.89432915 -25.905762 51.241286
    Unten links KachelX 28051 KachelY + 1 21871 -0.45223671 0.89426913 -25.911255 51.237847
    Unten rechts KachelX + 1 28052 KachelY + 1 21871 -0.45214084 0.89426913 -25.905762 51.237847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89432915-0.89426913) × R
    6.00200000000495e-05 × 6371000     		dl = 382.387420000315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89432915-0.89426913) × R
    6.00200000000495e-05 × 6371000     		dr = 382.387420000315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45223671--0.45214084) × cos(0.89432915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626042078859788 × 6371000     		do = 382.378845272926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45223671--0.45214084) × cos(0.89426913) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626088880684499 × 6371000     		du = 382.407431255073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89432915)-sin(0.89426913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626042078859788-0.626088880684499)×R²
    abs(-0.45214084--0.45223671)×4.68018247108404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68018247108404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68018247108404e-05×40589641000000     		ar = 146222.325610619m²