Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28050 / 7006
↖ ↑ ↗
← N 80.329352°
W 25.916748°		 ← 102.60 m → N 80.329352°
W 25.911255°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
N 80.328429°
W 25.916748°		 ← 102.61 m →
10 525 m²		 N 80.328429°
W 25.911255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428016662597656 y=0.106910705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428016662597656 × 216)
    floor (0.428016662597656 × 65536)
    floor (28050.5)     		tx = 28050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106910705566406 × 216)
    floor (0.106910705566406 × 65536)
    floor (7006.5)     		ty = 7006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28050 / 7006 ti = "16/28050/7006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28050/7006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28050 ÷ 216
    28050 ÷ 65536     		x = 0.428009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7006 ÷ 216
    7006 ÷ 65536     		y = 0.106903076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.14398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45233258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106903076171875 × 2 - 1) × π
    0.78619384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46990081602377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45233258} λ = -0.45233258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46990081602377))-π/2
    2×atan(11.8212743125084)-π/2
    2×1.48640399953538-π/2
    2.97280799907076-1.57079632675     		φ = 1.40201167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45233258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.916748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40201167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.329352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28050 KachelY 7006 -0.45233258 1.40201167 -25.916748 80.329352
    Oben rechts KachelX + 1 28051 KachelY 7006 -0.45223671 1.40201167 -25.911255 80.329352
    Unten links KachelX 28050 KachelY + 1 7007 -0.45233258 1.40199557 -25.916748 80.328429
    Unten rechts KachelX + 1 28051 KachelY + 1 7007 -0.45223671 1.40199557 -25.911255 80.328429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40201167-1.40199557) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dl = 102.573100000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40201167-1.40199557) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dr = 102.573100000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45233258--0.45223671) × cos(1.40201167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167984400666206 × 6371000     		do = 102.602817477696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45233258--0.45223671) × cos(1.40199557) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168000271857856 × 6371000     		du = 102.612511407452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40201167)-sin(1.40199557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167984400666206-0.168000271857856)×R²
    abs(-0.45223671--0.45233258)×1.58711916506404e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58711916506404e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58711916506404e-05×40589641000000     		ar = 10524.7862259356m²