Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28050 / 21875
↖ ↑ ↗
← N 51.224088°
W 25.916748°		 ← 382.52 m → N 51.224088°
W 25.911255°		 →
↑
382.58 m
↓
↑
382.58 m
↓
N 51.220647°
W 25.916748°		 ← 382.55 m →
146 350 m²		 N 51.220647°
W 25.911255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428016662597656 y=0.333793640136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428016662597656 × 216)
    floor (0.428016662597656 × 65536)
    floor (28050.5)     		tx = 28050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333793640136719 × 216)
    floor (0.333793640136719 × 65536)
    floor (21875.5)     		ty = 21875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28050 / 21875 ti = "16/28050/21875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28050/21875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28050 ÷ 216
    28050 ÷ 65536     		x = 0.428009033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21875 ÷ 216
    21875 ÷ 65536     		y = 0.333786010742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.428009033203125 × 2 - 1) × π
    -0.14398193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45233258
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333786010742188 × 2 - 1) × π
    0.332427978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04435329512254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45233258} λ = -0.45233258}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04435329512254))-π/2
    2×atan(2.84156027842312)-π/2
    2×1.23241265757694-π/2
    2.46482531515388-1.57079632675     		φ = 0.89402899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45233258} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.916748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89402899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.224088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28050 KachelY 21875 -0.45233258 0.89402899 -25.916748 51.224088
    Oben rechts KachelX + 1 28051 KachelY 21875 -0.45223671 0.89402899 -25.911255 51.224088
    Unten links KachelX 28050 KachelY + 1 21876 -0.45233258 0.89396894 -25.916748 51.220647
    Unten rechts KachelX + 1 28051 KachelY + 1 21876 -0.45223671 0.89396894 -25.911255 51.220647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89402899-0.89396894) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dl = 382.578549999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89402899-0.89396894) × R
    6.00499999999782e-05 × 6371000     		dr = 382.578549999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45233258--0.45223671) × cos(0.89402899) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626276112203509 × 6371000     		do = 382.521789977043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45233258--0.45223671) × cos(0.89396894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.626322926134076 × 6371000     		du = 382.550383353299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89402899)-sin(0.89396894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626276112203509-0.626322926134076)×R²
    abs(-0.45223671--0.45233258)×4.68139305672688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68139305672688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68139305672688e-05×40589641000000     		ar = 146350.101403006m²