Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28049 / 22242
↖ ↑ ↗
← N 49.944151°
W 25.922241°		 ← 393.10 m → N 49.944151°
W 25.916748°		 →
↑
393.09 m
↓
↑
393.09 m
↓
N 49.940615°
W 25.922241°		 ← 393.13 m →
154 531 m²		 N 49.940615°
W 25.916748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.428001403808594 y=0.339393615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.428001403808594 × 216)
    floor (0.428001403808594 × 65536)
    floor (28049.5)     		tx = 28049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339393615722656 × 216)
    floor (0.339393615722656 × 65536)
    floor (22242.5)     		ty = 22242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28049 / 22242 ti = "16/28049/22242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28049/22242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28049 ÷ 216
    28049 ÷ 65536     		x = 0.427993774414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22242 ÷ 216
    22242 ÷ 65536     		y = 0.339385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427993774414062 × 2 - 1) × π
    -0.144012451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45242846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339385986328125 × 2 - 1) × π
    0.32122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00916761080142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45242846} λ = -0.45242846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00916761080142))-π/2
    2×atan(2.74331655729928)-π/2
    2×1.22124309626182-π/2
    2.44248619252363-1.57079632675     		φ = 0.87168987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45242846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.922241°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87168987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.944151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28049 KachelY 22242 -0.45242846 0.87168987 -25.922241 49.944151
    Oben rechts KachelX + 1 28050 KachelY 22242 -0.45233258 0.87168987 -25.916748 49.944151
    Unten links KachelX 28049 KachelY + 1 22243 -0.45242846 0.87162817 -25.922241 49.940615
    Unten rechts KachelX + 1 28050 KachelY + 1 22243 -0.45233258 0.87162817 -25.916748 49.940615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87168987-0.87162817) × R
    6.16999999999424e-05 × 6371000     		dl = 393.090699999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87168987-0.87162817) × R
    6.16999999999424e-05 × 6371000     		dr = 393.090699999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45242846--0.45233258) × cos(0.87168987) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.643534010611257 × 6371000     		do = 393.103702812192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45242846--0.45233258) × cos(0.87162817) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64358123564717 × 6371000     		du = 393.132550295272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87168987)-sin(0.87162817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643534010611257-0.64358123564717)×R²
    abs(-0.45233258--0.45242846)×4.72250359121462e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72250359121462e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72250359121462e-05×40589641000000     		ar = 154531.079598616m²