Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28048 / 7120
↖ ↑ ↗
← N 80.223588°
W 25.927734°		 ← 103.71 m → N 80.223588°
W 25.922241°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
N 80.222655°
W 25.927734°		 ← 103.72 m →
10 758 m²		 N 80.222655°
W 25.922241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427986145019531 y=0.108650207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427986145019531 × 216)
    floor (0.427986145019531 × 65536)
    floor (28048.5)     		tx = 28048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108650207519531 × 216)
    floor (0.108650207519531 × 65536)
    floor (7120.5)     		ty = 7120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28048 / 7120 ti = "16/28048/7120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28048/7120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28048 ÷ 216
    28048 ÷ 65536     		x = 0.427978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7120 ÷ 216
    7120 ÷ 65536     		y = 0.108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427978515625 × 2 - 1) × π
    -0.14404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45252433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108642578125 × 2 - 1) × π
    0.78271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4589712029104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45252433} λ = -0.45252433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4589712029104))-π/2
    2×atan(11.692775856134)-π/2
    2×1.48548103459157-π/2
    2.97096206918315-1.57079632675     		φ = 1.40016574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45252433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40016574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.223588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28048 KachelY 7120 -0.45252433 1.40016574 -25.927734 80.223588
    Oben rechts KachelX + 1 28049 KachelY 7120 -0.45242846 1.40016574 -25.922241 80.223588
    Unten links KachelX 28048 KachelY + 1 7121 -0.45252433 1.40014946 -25.927734 80.222655
    Unten rechts KachelX + 1 28049 KachelY + 1 7121 -0.45242846 1.40014946 -25.922241 80.222655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40016574-1.40014946) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dl = 103.719880000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40016574-1.40014946) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dr = 103.719880000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45252433--0.45242846) × cos(1.40016574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169803812128263 × 6371000     		do = 103.714091747319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45252433--0.45242846) × cos(1.40014946) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169819855685757 × 6371000     		du = 103.723890956023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40016574)-sin(1.40014946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169803812128263-0.169819855685757)×R²
    abs(-0.45242846--0.45252433)×1.60435574943496e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.60435574943496e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.60435574943496e-05×40589641000000     		ar = 10757.7213372855m²