Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28045 / 22154
↖ ↑ ↗
← N 50.254230°
W 25.944214°		 ← 390.53 m → N 50.254230°
W 25.938721°		 →
↑
390.54 m
↓
↑
390.54 m
↓
N 50.250717°
W 25.944214°		 ← 390.56 m →
152 523 m²		 N 50.250717°
W 25.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427940368652344 y=0.338050842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427940368652344 × 216)
    floor (0.427940368652344 × 65536)
    floor (28045.5)     		tx = 28045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338050842285156 × 216)
    floor (0.338050842285156 × 65536)
    floor (22154.5)     		ty = 22154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28045 / 22154 ti = "16/28045/22154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28045/22154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28045 ÷ 216
    28045 ÷ 65536     		x = 0.427932739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22154 ÷ 216
    22154 ÷ 65536     		y = 0.338043212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427932739257812 × 2 - 1) × π
    -0.144134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45281195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338043212890625 × 2 - 1) × π
    0.32391357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01760450513455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45281195} λ = -0.45281195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01760450513455))-π/2
    2×atan(2.766559540641)-π/2
    2×1.22394905063833-π/2
    2.44789810127667-1.57079632675     		φ = 0.87710177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45281195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.944214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87710177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.254230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28045 KachelY 22154 -0.45281195 0.87710177 -25.944214 50.254230
    Oben rechts KachelX + 1 28046 KachelY 22154 -0.45271608 0.87710177 -25.938721 50.254230
    Unten links KachelX 28045 KachelY + 1 22155 -0.45281195 0.87704047 -25.944214 50.250717
    Unten rechts KachelX + 1 28046 KachelY + 1 22155 -0.45271608 0.87704047 -25.938721 50.250717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87710177-0.87704047) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dl = 390.542300000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87710177-0.87704047) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dr = 390.542300000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45281195--0.45271608) × cos(0.87710177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639382243663191 × 6371000     		do = 390.526854784629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45281195--0.45271608) × cos(0.87704047) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.639429375359641 × 6371000     		du = 390.5556422484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87710177)-sin(0.87704047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639382243663191-0.639429375359641)×R²
    abs(-0.45271608--0.45281195)×4.71316964498758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71316964498758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71316964498758e-05×40589641000000     		ar = 152522.877488173m²