Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28045 / 14543
↖ ↑ ↗
← N 70.231602°
W 25.944214°		 ← 206.58 m → N 70.231602°
W 25.938721°		 →
↑
206.61 m
↓
↑
206.61 m
↓
N 70.229744°
W 25.944214°		 ← 206.60 m →
42 684 m²		 N 70.229744°
W 25.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427940368652344 y=0.221916198730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427940368652344 × 216)
    floor (0.427940368652344 × 65536)
    floor (28045.5)     		tx = 28045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221916198730469 × 216)
    floor (0.221916198730469 × 65536)
    floor (14543.5)     		ty = 14543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28045 / 14543 ti = "16/28045/14543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28045/14543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28045 ÷ 216
    28045 ÷ 65536     		x = 0.427932739257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14543 ÷ 216
    14543 ÷ 65536     		y = 0.221908569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427932739257812 × 2 - 1) × π
    -0.144134521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45281195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221908569335938 × 2 - 1) × π
    0.556182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74729999115105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45281195} λ = -0.45281195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74729999115105))-π/2
    2×atan(5.73908615465713)-π/2
    2×1.39828451442791-π/2
    2.79656902885583-1.57079632675     		φ = 1.22577270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45281195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.944214°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22577270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.231602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28045 KachelY 14543 -0.45281195 1.22577270 -25.944214 70.231602
    Oben rechts KachelX + 1 28046 KachelY 14543 -0.45271608 1.22577270 -25.938721 70.231602
    Unten links KachelX 28045 KachelY + 1 14544 -0.45281195 1.22574027 -25.944214 70.229744
    Unten rechts KachelX + 1 28046 KachelY + 1 14544 -0.45271608 1.22574027 -25.938721 70.229744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22577270-1.22574027) × R
    3.24300000000832e-05 × 6371000     		dl = 206.61153000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22577270-1.22574027) × R
    3.24300000000832e-05 × 6371000     		dr = 206.61153000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45281195--0.45271608) × cos(1.22577270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338218911750095 × 6371000     		do = 206.579974879663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45281195--0.45271608) × cos(1.22574027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338249430390024 × 6371000     		du = 206.598615291689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22577270)-sin(1.22574027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338218911750095-0.338249430390024)×R²
    abs(-0.45271608--0.45281195)×3.05186399289226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05186399289226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05186399289226e-05×40589641000000     		ar = 42683.7303429324m²