Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28044 / 8060
↖ ↑ ↗
← N 79.306718°
W 25.949707°		 ← 113.34 m → N 79.306718°
W 25.944214°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
N 79.305698°
W 25.949707°		 ← 113.36 m →
12 847 m²		 N 79.305698°
W 25.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427925109863281 y=0.122993469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427925109863281 × 216)
    floor (0.427925109863281 × 65536)
    floor (28044.5)     		tx = 28044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122993469238281 × 216)
    floor (0.122993469238281 × 65536)
    floor (8060.5)     		ty = 8060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28044 / 8060 ti = "16/28044/8060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28044/8060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28044 ÷ 216
    28044 ÷ 65536     		x = 0.42791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8060 ÷ 216
    8060 ÷ 65536     		y = 0.12298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12298583984375 × 2 - 1) × π
    0.7540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.36884983162469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45290783} λ = -0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36884983162469))-π/2
    2×atan(10.6850955548178)-π/2
    2×1.4774798325836-π/2
    2.95495966516721-1.57079632675     		φ = 1.38416334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38416334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.306718°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28044 KachelY 8060 -0.45290783 1.38416334 -25.949707 79.306718
    Oben rechts KachelX + 1 28045 KachelY 8060 -0.45281195 1.38416334 -25.944214 79.306718
    Unten links KachelX 28044 KachelY + 1 8061 -0.45290783 1.38414555 -25.949707 79.305698
    Unten rechts KachelX + 1 28045 KachelY + 1 8061 -0.45281195 1.38414555 -25.944214 79.305698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38416334-1.38414555) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38416334-1.38414555) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(1.38416334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.185551409472086 × 6371000     		do = 113.344353092101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(1.38414555) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.185568890511509 × 6371000     		du = 113.355031410904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38416334)-sin(1.38414555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185551409472086-0.185568890511509)×R²
    abs(-0.45281195--0.45290783)×1.74810394226732e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.74810394226732e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.74810394226732e-05×40589641000000     		ar = 12847.0643219087m²