Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28044 / 22226
↖ ↑ ↗
← N 50.000678°
W 25.949707°		 ← 392.64 m → N 50.000678°
W 25.944214°		 →
↑
392.64 m
↓
↑
392.64 m
↓
N 49.997147°
W 25.949707°		 ← 392.67 m →
154 175 m²		 N 49.997147°
W 25.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427925109863281 y=0.339149475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427925109863281 × 216)
    floor (0.427925109863281 × 65536)
    floor (28044.5)     		tx = 28044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339149475097656 × 216)
    floor (0.339149475097656 × 65536)
    floor (22226.5)     		ty = 22226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28044 / 22226 ti = "16/28044/22226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28044/22226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28044 ÷ 216
    28044 ÷ 65536     		x = 0.42791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22226 ÷ 216
    22226 ÷ 65536     		y = 0.339141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339141845703125 × 2 - 1) × π
    0.32171630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01070159158926
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45290783} λ = -0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01070159158926))-π/2
    2×atan(2.74752798148922)-π/2
    2×1.2217363909344-π/2
    2.4434727818688-1.57079632675     		φ = 0.87267646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87267646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.000678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28044 KachelY 22226 -0.45290783 0.87267646 -25.949707 50.000678
    Oben rechts KachelX + 1 28045 KachelY 22226 -0.45281195 0.87267646 -25.944214 50.000678
    Unten links KachelX 28044 KachelY + 1 22227 -0.45290783 0.87261483 -25.949707 49.997147
    Unten rechts KachelX + 1 28045 KachelY + 1 22227 -0.45281195 0.87261483 -25.944214 49.997147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87267646-0.87261483) × R
    6.16300000000347e-05 × 6371000     		dl = 392.644730000221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87267646-0.87261483) × R
    6.16300000000347e-05 × 6371000     		dr = 392.644730000221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(0.87267646) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.642778544269419 × 6371000     		do = 392.64222507919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(0.87261483) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.6428257548365 × 6371000     		du = 392.671063723963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87267646)-sin(0.87261483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642778544269419-0.6428257548365)×R²
    abs(-0.45281195--0.45290783)×4.72105670812351e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.72105670812351e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.72105670812351e-05×40589641000000     		ar = 154174.562172556m²