Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28044 / 22155
↖ ↑ ↗
← N 50.250717°
W 25.949707°		 ← 390.60 m → N 50.250717°
W 25.944214°		 →
↑
390.54 m
↓
↑
390.54 m
↓
N 50.247205°
W 25.949707°		 ← 390.63 m →
152 550 m²		 N 50.247205°
W 25.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22155 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427925109863281 y=0.338066101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427925109863281 × 216)
    floor (0.427925109863281 × 65536)
    floor (28044.5)     		tx = 28044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338066101074219 × 216)
    floor (0.338066101074219 × 65536)
    floor (22155.5)     		ty = 22155
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28044 / 22155 ti = "16/28044/22155"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28044/22155.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28044 ÷ 216
    28044 ÷ 65536     		x = 0.42791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22155 ÷ 216
    22155 ÷ 65536     		y = 0.338058471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338058471679688 × 2 - 1) × π
    0.323883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01750863133531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45290783} λ = -0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01750863133531))-π/2
    2×atan(2.76629431278142)-π/2
    2×1.22391839950635-π/2
    2.44783679901271-1.57079632675     		φ = 0.87704047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87704047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.250717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28044 KachelY 22155 -0.45290783 0.87704047 -25.949707 50.250717
    Oben rechts KachelX + 1 28045 KachelY 22155 -0.45281195 0.87704047 -25.944214 50.250717
    Unten links KachelX 28044 KachelY + 1 22156 -0.45290783 0.87697917 -25.949707 50.247205
    Unten rechts KachelX + 1 28045 KachelY + 1 22156 -0.45281195 0.87697917 -25.944214 50.247205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87704047-0.87697917) × R
    6.12999999999309e-05 × 6371000     		dl = 390.542299999559m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87704047-0.87697917) × R
    6.12999999999309e-05 × 6371000     		dr = 390.542299999559m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(0.87704047) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639429375359641 × 6371000     		do = 390.596380293882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(0.87697917) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639476504653314 × 6371000     		du = 390.625169292674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87704047)-sin(0.87697917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639429375359641-0.639476504653314)×R²
    abs(-0.45281195--0.45290783)×4.71292936724543e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71292936724543e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71292936724543e-05×40589641000000     		ar = 152550.030440437m²