Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28044 / 22153
↖ ↑ ↗
← N 50.257742°
W 25.949707°		 ← 390.54 m → N 50.257742°
W 25.944214°		 →
↑
390.54 m
↓
↑
390.54 m
↓
N 50.254230°
W 25.949707°		 ← 390.57 m →
152 528 m²		 N 50.254230°
W 25.944214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427925109863281 y=0.338035583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427925109863281 × 216)
    floor (0.427925109863281 × 65536)
    floor (28044.5)     		tx = 28044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338035583496094 × 216)
    floor (0.338035583496094 × 65536)
    floor (22153.5)     		ty = 22153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28044 / 22153 ti = "16/28044/22153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28044/22153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28044 ÷ 216
    28044 ÷ 65536     		x = 0.42791748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22153 ÷ 216
    22153 ÷ 65536     		y = 0.338027954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42791748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1441650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45290783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338027954101562 × 2 - 1) × π
    0.323944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01770037893379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45290783} λ = -0.45290783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01770037893379))-π/2
    2×atan(2.7668247939302)-π/2
    2×1.22397969951091-π/2
    2.44795939902181-1.57079632675     		φ = 0.87716307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45290783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.949707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87716307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.257742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28044 KachelY 22153 -0.45290783 0.87716307 -25.949707 50.257742
    Oben rechts KachelX + 1 28045 KachelY 22153 -0.45281195 0.87716307 -25.944214 50.257742
    Unten links KachelX 28044 KachelY + 1 22154 -0.45290783 0.87710177 -25.949707 50.254230
    Unten rechts KachelX + 1 28045 KachelY + 1 22154 -0.45281195 0.87710177 -25.944214 50.254230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87716307-0.87710177) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dl = 390.542300000267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87716307-0.87710177) × R
    6.13000000000419e-05 × 6371000     		dr = 390.542300000267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(0.87716307) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639335109564141 × 6371000     		do = 390.538797893188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45290783--0.45281195) × cos(0.87710177) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.639382243663191 × 6371000     		du = 390.567589827351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87716307)-sin(0.87710177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639335109564141-0.639382243663191)×R²
    abs(-0.45281195--0.45290783)×4.71340990502167e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71340990502167e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71340990502167e-05×40589641000000     		ar = 152527.54265025m²