Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28043 / 22121
↖ ↑ ↗
← N 50.369992°
W 25.955200°		 ← 389.58 m → N 50.369992°
W 25.949707°		 →
↑
389.59 m
↓
↑
389.59 m
↓
N 50.366489°
W 25.955200°		 ← 389.61 m →
151 780 m²		 N 50.366489°
W 25.949707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427909851074219 y=0.337547302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427909851074219 × 216)
    floor (0.427909851074219 × 65536)
    floor (28043.5)     		tx = 28043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337547302246094 × 216)
    floor (0.337547302246094 × 65536)
    floor (22121.5)     		ty = 22121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28043 / 22121 ti = "16/28043/22121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28043/22121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28043 ÷ 216
    28043 ÷ 65536     		x = 0.427902221679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22121 ÷ 216
    22121 ÷ 65536     		y = 0.337539672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427902221679688 × 2 - 1) × π
    -0.144195556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45300370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337539672851562 × 2 - 1) × π
    0.324920654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02076834050948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45300370} λ = -0.45300370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02076834050948))-π/2
    2×atan(2.7753263406256)-π/2
    2×1.22495927077631-π/2
    2.44991854155262-1.57079632675     		φ = 0.87912221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45300370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.955200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87912221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.369992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28043 KachelY 22121 -0.45300370 0.87912221 -25.955200 50.369992
    Oben rechts KachelX + 1 28044 KachelY 22121 -0.45290783 0.87912221 -25.949707 50.369992
    Unten links KachelX 28043 KachelY + 1 22122 -0.45300370 0.87906106 -25.955200 50.366489
    Unten rechts KachelX + 1 28044 KachelY + 1 22122 -0.45290783 0.87906106 -25.949707 50.366489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87912221-0.87906106) × R
    6.11500000000653e-05 × 6371000     		dl = 389.586650000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87912221-0.87906106) × R
    6.11500000000653e-05 × 6371000     		dr = 389.586650000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45300370--0.45290783) × cos(0.87912221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637827445524876 × 6371000     		do = 389.577203096927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45300370--0.45290783) × cos(0.87906106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.637874540796345 × 6371000     		du = 389.605968312765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87912221)-sin(0.87906106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637827445524876-0.637874540796345)×R²
    abs(-0.45290783--0.45300370)×4.70952714692885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70952714692885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70952714692885e-05×40589641000000     		ar = 151779.680790163m²