Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28042 / 21885
↖ ↑ ↗
← N 51.189673°
W 25.960694°		 ← 382.85 m → N 51.189673°
W 25.955200°		 →
↑
382.83 m
↓
↑
382.83 m
↓
N 51.186230°
W 25.960694°		 ← 382.88 m →
146 572 m²		 N 51.186230°
W 25.955200°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427894592285156 y=0.333946228027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427894592285156 × 216)
    floor (0.427894592285156 × 65536)
    floor (28042.5)     		tx = 28042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333946228027344 × 216)
    floor (0.333946228027344 × 65536)
    floor (21885.5)     		ty = 21885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28042 / 21885 ti = "16/28042/21885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28042/21885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28042 ÷ 216
    28042 ÷ 65536     		x = 0.427886962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21885 ÷ 216
    21885 ÷ 65536     		y = 0.333938598632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.14422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45309958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333938598632812 × 2 - 1) × π
    0.332122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.04339455713014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45309958} λ = -0.45309958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04339455713014))-π/2
    2×atan(2.83883727215985)-π/2
    2×1.23211232801893-π/2
    2.46422465603787-1.57079632675     		φ = 0.89342833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45309958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.960694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89342833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.189673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28042 KachelY 21885 -0.45309958 0.89342833 -25.960694 51.189673
    Oben rechts KachelX + 1 28043 KachelY 21885 -0.45300370 0.89342833 -25.955200 51.189673
    Unten links KachelX 28042 KachelY + 1 21886 -0.45309958 0.89336824 -25.960694 51.186230
    Unten rechts KachelX + 1 28043 KachelY + 1 21886 -0.45300370 0.89336824 -25.955200 51.186230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89342833-0.89336824) × R
    6.00899999999571e-05 × 6371000     		dl = 382.833389999727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89342833-0.89336824) × R
    6.00899999999571e-05 × 6371000     		dr = 382.833389999727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45309958--0.45300370) × cos(0.89342833) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626744274531444 × 6371000     		do = 382.84766767903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45309958--0.45300370) × cos(0.89336824) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.626791097030668 × 6371000     		du = 382.876269271978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89342833)-sin(0.89336824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626744274531444-0.626791097030668)×R²
    abs(-0.45300370--0.45309958)×4.68224992240529e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68224992240529e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68224992240529e-05×40589641000000     		ar = 146572.345337761m²