Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28040 / 7560
↖ ↑ ↗
← N 79.804527°
W 25.971680°		 ← 108.11 m → N 79.804527°
W 25.966187°		 →
↑
108.12 m
↓
↑
108.12 m
↓
N 79.803554°
W 25.971680°		 ← 108.12 m →
11 689 m²		 N 79.803554°
W 25.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427864074707031 y=0.115364074707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427864074707031 × 216)
    floor (0.427864074707031 × 65536)
    floor (28040.5)     		tx = 28040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115364074707031 × 216)
    floor (0.115364074707031 × 65536)
    floor (7560.5)     		ty = 7560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28040 / 7560 ti = "16/28040/7560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28040/7560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28040 ÷ 216
    28040 ÷ 65536     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7560 ÷ 216
    7560 ÷ 65536     		y = 0.1153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1153564453125 × 2 - 1) × π
    0.769287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41678673124475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41678673124475))-π/2
    2×atan(11.2097813416738)-π/2
    2×1.48182403674322-π/2
    2.96364807348645-1.57079632675     		φ = 1.39285175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39285175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.804527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28040 KachelY 7560 -0.45329132 1.39285175 -25.971680 79.804527
    Oben rechts KachelX + 1 28041 KachelY 7560 -0.45319545 1.39285175 -25.966187 79.804527
    Unten links KachelX 28040 KachelY + 1 7561 -0.45329132 1.39283478 -25.971680 79.803554
    Unten rechts KachelX + 1 28041 KachelY + 1 7561 -0.45319545 1.39283478 -25.966187 79.803554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39285175-1.39283478) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dl = 108.115869999325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39285175-1.39283478) × R
    1.6969999999894e-05 × 6371000     		dr = 108.115869999325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45319545) × cos(1.39285175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177006981514605 × 6371000     		do = 108.113699513735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45319545) × cos(1.39283478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177023683525958 × 6371000     		du = 108.123900898003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39285175)-sin(1.39283478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177006981514605-0.177023683525958)×R²
    abs(-0.45319545--0.45329132)×1.67020113527871e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67020113527871e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67020113527871e-05×40589641000000     		ar = 11689.3581478339m²