Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28040 / 22200
↖ ↑ ↗
← N 50.092393°
W 25.971680°		 ← 391.85 m → N 50.092393°
W 25.966187°		 →
↑
391.88 m
↓
↑
391.88 m
↓
N 50.088869°
W 25.971680°		 ← 391.88 m →
153 565 m²		 N 50.088869°
W 25.966187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427864074707031 y=0.338752746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427864074707031 × 216)
    floor (0.427864074707031 × 65536)
    floor (28040.5)     		tx = 28040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338752746582031 × 216)
    floor (0.338752746582031 × 65536)
    floor (22200.5)     		ty = 22200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28040 / 22200 ti = "16/28040/22200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28040/22200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28040 ÷ 216
    28040 ÷ 65536     		x = 0.4278564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22200 ÷ 216
    22200 ÷ 65536     		y = 0.3387451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4278564453125 × 2 - 1) × π
    -0.144287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45329132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3387451171875 × 2 - 1) × π
    0.322509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01319431036951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45329132} λ = -0.45329132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01319431036951))-π/2
    2×atan(2.75438533926941)-π/2
    2×1.22253675925543-π/2
    2.44507351851085-1.57079632675     		φ = 0.87427719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45329132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87427719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.092393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28040 KachelY 22200 -0.45329132 0.87427719 -25.971680 50.092393
    Oben rechts KachelX + 1 28041 KachelY 22200 -0.45319545 0.87427719 -25.966187 50.092393
    Unten links KachelX 28040 KachelY + 1 22201 -0.45329132 0.87421568 -25.971680 50.088869
    Unten rechts KachelX + 1 28041 KachelY + 1 22201 -0.45319545 0.87421568 -25.966187 50.088869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87427719-0.87421568) × R
    6.15099999999869e-05 × 6371000     		dl = 391.880209999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87427719-0.87421568) × R
    6.15099999999869e-05 × 6371000     		dr = 391.880209999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45329132--0.45319545) × cos(0.87427719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641551478788094 × 6371000     		do = 391.851797069174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45329132--0.45319545) × cos(0.87421568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64159866066416 × 6371000     		du = 391.88061518204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87427719)-sin(0.87421568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641551478788094-0.64159866066416)×R²
    abs(-0.45319545--0.45329132)×4.71818760657827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71818760657827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71818760657827e-05×40589641000000     		ar = 153564.611196534m²