Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28039 / 22202
↖ ↑ ↗
← N 50.085345°
W 25.977173°		 ← 391.95 m → N 50.085345°
W 25.971680°		 →
↑
391.94 m
↓
↑
391.94 m
↓
N 50.081820°
W 25.977173°		 ← 391.98 m →
153 628 m²		 N 50.081820°
W 25.971680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427848815917969 y=0.338783264160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427848815917969 × 216)
    floor (0.427848815917969 × 65536)
    floor (28039.5)     		tx = 28039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338783264160156 × 216)
    floor (0.338783264160156 × 65536)
    floor (22202.5)     		ty = 22202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28039 / 22202 ti = "16/28039/22202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28039/22202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28039 ÷ 216
    28039 ÷ 65536     		x = 0.427841186523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22202 ÷ 216
    22202 ÷ 65536     		y = 0.338775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427841186523438 × 2 - 1) × π
    -0.144317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45338720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338775634765625 × 2 - 1) × π
    0.32244873046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01300256277103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45338720} λ = -0.45338720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01300256277103))-π/2
    2×atan(2.75385724312752)-π/2
    2×1.22247524675433-π/2
    2.44495049350867-1.57079632675     		φ = 0.87415417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45338720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.977173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87415417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.085345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28039 KachelY 22202 -0.45338720 0.87415417 -25.977173 50.085345
    Oben rechts KachelX + 1 28040 KachelY 22202 -0.45329132 0.87415417 -25.971680 50.085345
    Unten links KachelX 28039 KachelY + 1 22203 -0.45338720 0.87409265 -25.977173 50.081820
    Unten rechts KachelX + 1 28040 KachelY + 1 22203 -0.45329132 0.87409265 -25.971680 50.081820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87415417-0.87409265) × R
    6.15199999999261e-05 × 6371000     		dl = 391.943919999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87415417-0.87409265) × R
    6.15199999999261e-05 × 6371000     		dr = 391.943919999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45338720--0.45329132) × cos(0.87415417) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.64164584011275 × 6371000     		do = 391.950311068686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45338720--0.45329132) × cos(0.87409265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.641693024803301 × 6371000     		du = 391.979133906743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87415417)-sin(0.87409265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64164584011275-0.641693024803301)×R²
    abs(-0.45329132--0.45338720)×4.71846905514273e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.71846905514273e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.71846905514273e-05×40589641000000     		ar = 153628.189881949m²