Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28038 / 14578
↖ ↑ ↗
← N 70.166474°
W 25.982666°		 ← 207.23 m → N 70.166474°
W 25.977173°		 →
↑
207.25 m
↓
↑
207.25 m
↓
N 70.164610°
W 25.982666°		 ← 207.25 m →
42 951 m²		 N 70.164610°
W 25.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427833557128906 y=0.222450256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427833557128906 × 216)
    floor (0.427833557128906 × 65536)
    floor (28038.5)     		tx = 28038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222450256347656 × 216)
    floor (0.222450256347656 × 65536)
    floor (14578.5)     		ty = 14578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28038 / 14578 ti = "16/28038/14578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28038/14578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28038 ÷ 216
    28038 ÷ 65536     		x = 0.427825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14578 ÷ 216
    14578 ÷ 65536     		y = 0.222442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.14434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45348307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222442626953125 × 2 - 1) × π
    0.55511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74394440817764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45348307} λ = -0.45348307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74394440817764))-π/2
    2×atan(5.71986044963788)-π/2
    2×1.39771615682647-π/2
    2.79543231365294-1.57079632675     		φ = 1.22463599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45348307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22463599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.166474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28038 KachelY 14578 -0.45348307 1.22463599 -25.982666 70.166474
    Oben rechts KachelX + 1 28039 KachelY 14578 -0.45338720 1.22463599 -25.977173 70.166474
    Unten links KachelX 28038 KachelY + 1 14579 -0.45348307 1.22460346 -25.982666 70.164610
    Unten rechts KachelX + 1 28039 KachelY + 1 14579 -0.45338720 1.22460346 -25.977173 70.164610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22463599-1.22460346) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dl = 207.248629999488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22463599-1.22460346) × R
    3.25299999999196e-05 × 6371000     		dr = 207.248629999488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45348307--0.45338720) × cos(1.22463599) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339288413806346 × 6371000     		do = 207.233213655611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45348307--0.45338720) × cos(1.22460346) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339319014025201 × 6371000     		du = 207.251903895047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22463599)-sin(1.22460346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339288413806346-0.339319014025201)×R²
    abs(-0.45338720--0.45348307)×3.06002188553145e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06002188553145e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06002188553145e-05×40589641000000     		ar = 42950.7363873608m²