Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28036 / 6773
↖ ↑ ↗
← N 80.542005°
W 25.993652°		 ← 100.38 m → N 80.542005°
W 25.988159°		 →
↑
100.34 m
↓
↑
100.34 m
↓
N 80.541103°
W 25.993652°		 ← 100.39 m →
10 073 m²		 N 80.541103°
W 25.988159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427803039550781 y=0.103355407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427803039550781 × 216)
    floor (0.427803039550781 × 65536)
    floor (28036.5)     		tx = 28036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103355407714844 × 216)
    floor (0.103355407714844 × 65536)
    floor (6773.5)     		ty = 6773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28036 / 6773 ti = "16/28036/6773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28036/6773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28036 ÷ 216
    28036 ÷ 65536     		x = 0.42779541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6773 ÷ 216
    6773 ÷ 65536     		y = 0.103347778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.1444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45367482
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103347778320312 × 2 - 1) × π
    0.793304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49223941124672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45367482} λ = -0.45367482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49223941124672))-π/2
    2×atan(12.0883165438522)-π/2
    2×1.48825975501129-π/2
    2.97651951002258-1.57079632675     		φ = 1.40572318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45367482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.993652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40572318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.542005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28036 KachelY 6773 -0.45367482 1.40572318 -25.993652 80.542005
    Oben rechts KachelX + 1 28037 KachelY 6773 -0.45357894 1.40572318 -25.988159 80.542005
    Unten links KachelX 28036 KachelY + 1 6774 -0.45367482 1.40570743 -25.993652 80.541103
    Unten rechts KachelX + 1 28037 KachelY + 1 6774 -0.45357894 1.40570743 -25.988159 80.541103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40572318-1.40570743) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dl = 100.343249999879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40572318-1.40570743) × R
    1.57499999999811e-05 × 6371000     		dr = 100.343249999879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45367482--0.45357894) × cos(1.40572318) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.164324483892125 × 6371000     		do = 100.377854185733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45367482--0.45357894) × cos(1.40570743) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.164340019771569 × 6371000     		du = 100.387344300685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40572318)-sin(1.40570743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164324483892125-0.164340019771569)×R²
    abs(-0.45357894--0.45367482)×1.55358794442506e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.55358794442506e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.55358794442506e-05×40589641000000     		ar = 10072.7162516761m²