Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28035 / 7304
↖ ↑ ↗
← N 80.050460°
W 25.999145°		 ← 105.53 m → N 80.050460°
W 25.993652°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
N 80.049510°
W 25.999145°		 ← 105.54 m →
11 141 m²		 N 80.049510°
W 25.993652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427787780761719 y=0.111457824707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427787780761719 × 216)
    floor (0.427787780761719 × 65536)
    floor (28035.5)     		tx = 28035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111457824707031 × 216)
    floor (0.111457824707031 × 65536)
    floor (7304.5)     		ty = 7304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28035 / 7304 ti = "16/28035/7304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28035/7304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28035 ÷ 216
    28035 ÷ 65536     		x = 0.427780151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7304 ÷ 216
    7304 ÷ 65536     		y = 0.1114501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427780151367188 × 2 - 1) × π
    -0.144439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45377069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1114501953125 × 2 - 1) × π
    0.777099609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44133042385022
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45377069} λ = -0.45377069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44133042385022))-π/2
    2×atan(11.4883149081375)-π/2
    2×1.48397020659706-π/2
    2.96794041319412-1.57079632675     		φ = 1.39714409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45377069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.999145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39714409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.050460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28035 KachelY 7304 -0.45377069 1.39714409 -25.999145 80.050460
    Oben rechts KachelX + 1 28036 KachelY 7304 -0.45367482 1.39714409 -25.993652 80.050460
    Unten links KachelX 28035 KachelY + 1 7305 -0.45377069 1.39712752 -25.999145 80.049510
    Unten rechts KachelX + 1 28036 KachelY + 1 7305 -0.45367482 1.39712752 -25.993652 80.049510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39714409-1.39712752) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dl = 105.567470000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39714409-1.39712752) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dr = 105.567470000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45377069--0.45367482) × cos(1.39714409) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172780801668464 × 6371000     		do = 105.532400549891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45377069--0.45367482) × cos(1.39712752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172797122436932 × 6371000     		du = 105.542369075668m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39714409)-sin(1.39712752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172780801668464-0.172797122436932)×R²
    abs(-0.45367482--0.45377069)×1.63207684674149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.63207684674149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.63207684674149e-05×40589641000000     		ar = 11141.3147053233m²