Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28032 / 6785
↖ ↑ ↗
← N 80.531167°
W 26.015625°		 ← 100.48 m → N 80.531167°
W 26.010132°		 →
↑
100.47 m
↓
↑
100.47 m
↓
N 80.530264°
W 26.015625°		 ← 100.49 m →
10 096 m²		 N 80.530264°
W 26.010132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427742004394531 y=0.103538513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427742004394531 × 216)
    floor (0.427742004394531 × 65536)
    floor (28032.5)     		tx = 28032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103538513183594 × 216)
    floor (0.103538513183594 × 65536)
    floor (6785.5)     		ty = 6785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28032 / 6785 ti = "16/28032/6785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28032/6785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28032 ÷ 216
    28032 ÷ 65536     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6785 ÷ 216
    6785 ÷ 65536     		y = 0.103530883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103530883789062 × 2 - 1) × π
    0.792938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49108892565584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49108892565584))-π/2
    2×atan(12.0744171069346)-π/2
    2×1.48816517488141-π/2
    2.97633034976282-1.57079632675     		φ = 1.40553402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40553402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.531167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28032 KachelY 6785 -0.45405831 1.40553402 -26.015625 80.531167
    Oben rechts KachelX + 1 28033 KachelY 6785 -0.45396244 1.40553402 -26.010132 80.531167
    Unten links KachelX 28032 KachelY + 1 6786 -0.45405831 1.40551825 -26.015625 80.530264
    Unten rechts KachelX + 1 28033 KachelY + 1 6786 -0.45396244 1.40551825 -26.010132 80.530264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40553402-1.40551825) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dl = 100.470669999105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40553402-1.40551825) × R
    1.57699999998595e-05 × 6371000     		dr = 100.470669999105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45396244) × cos(1.40553402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164511069574053 × 6371000     		do = 100.481349325449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45396244) × cos(1.40551825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.164526624691082 × 6371000     		du = 100.490850200691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40553402)-sin(1.40551825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164511069574053-0.164526624691082)×R²
    abs(-0.45396244--0.45405831)×1.55551170289148e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.55551170289148e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.55551170289148e-05×40589641000000     		ar = 10095.9057689007m²