Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28032 / 21939
↖ ↑ ↗
← N 51.003386°
W 26.015625°		 ← 384.35 m → N 51.003386°
W 26.010132°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
N 50.999929°
W 26.015625°		 ← 384.38 m →
147 736 m²		 N 50.999929°
W 26.010132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427742004394531 y=0.334770202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427742004394531 × 216)
    floor (0.427742004394531 × 65536)
    floor (28032.5)     		tx = 28032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334770202636719 × 216)
    floor (0.334770202636719 × 65536)
    floor (21939.5)     		ty = 21939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28032 / 21939 ti = "16/28032/21939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28032/21939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28032 ÷ 216
    28032 ÷ 65536     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21939 ÷ 216
    21939 ÷ 65536     		y = 0.334762573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334762573242188 × 2 - 1) × π
    0.330474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03821737197118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03821737197118))-π/2
    2×atan(2.82417806542233)-π/2
    2×1.23048666838774-π/2
    2.46097333677547-1.57079632675     		φ = 0.89017701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89017701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.003386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28032 KachelY 21939 -0.45405831 0.89017701 -26.015625 51.003386
    Oben rechts KachelX + 1 28033 KachelY 21939 -0.45396244 0.89017701 -26.010132 51.003386
    Unten links KachelX 28032 KachelY + 1 21940 -0.45405831 0.89011668 -26.015625 50.999929
    Unten rechts KachelX + 1 28033 KachelY + 1 21940 -0.45396244 0.89011668 -26.010132 50.999929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89017701-0.89011668) × R
    6.03300000000528e-05 × 6371000     		dl = 384.362430000337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89017701-0.89011668) × R
    6.03300000000528e-05 × 6371000     		dr = 384.362430000337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45396244) × cos(0.89017701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629274467243847 × 6371000     		do = 384.353148565799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45396244) × cos(0.89011668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629321353557924 × 6371000     		du = 384.381786153017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89017701)-sin(0.89011668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629274467243847-0.629321353557924)×R²
    abs(-0.45396244--0.45405831)×4.68863140768994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68863140768994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68863140768994e-05×40589641000000     		ar = 147736.413811994m²