Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28032 / 21926
↖ ↑ ↗
← N 51.048301°
W 26.015625°		 ← 383.98 m → N 51.048301°
W 26.010132°		 →
↑
383.98 m
↓
↑
383.98 m
↓
N 51.044848°
W 26.015625°		 ← 384.01 m →
147 447 m²		 N 51.044848°
W 26.010132°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427742004394531 y=0.334571838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427742004394531 × 216)
    floor (0.427742004394531 × 65536)
    floor (28032.5)     		tx = 28032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334571838378906 × 216)
    floor (0.334571838378906 × 65536)
    floor (21926.5)     		ty = 21926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28032 / 21926 ti = "16/28032/21926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28032/21926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28032 ÷ 216
    28032 ÷ 65536     		x = 0.427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21926 ÷ 216
    21926 ÷ 65536     		y = 0.334564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427734375 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45405831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334564208984375 × 2 - 1) × π
    0.33087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0394637313613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45405831} λ = -0.45405831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0394637313613))-π/2
    2×atan(2.82770020074082)-π/2
    2×1.23087862955104-π/2
    2.46175725910207-1.57079632675     		φ = 0.89096093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45405831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89096093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.048301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28032 KachelY 21926 -0.45405831 0.89096093 -26.015625 51.048301
    Oben rechts KachelX + 1 28033 KachelY 21926 -0.45396244 0.89096093 -26.010132 51.048301
    Unten links KachelX 28032 KachelY + 1 21927 -0.45405831 0.89090066 -26.015625 51.044848
    Unten rechts KachelX + 1 28033 KachelY + 1 21927 -0.45396244 0.89090066 -26.010132 51.044848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89096093-0.89090066) × R
    6.02699999999734e-05 × 6371000     		dl = 383.980169999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89096093-0.89090066) × R
    6.02699999999734e-05 × 6371000     		dr = 383.980169999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45405831--0.45396244) × cos(0.89096093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.628665024539012 × 6371000     		do = 383.98090841517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45405831--0.45396244) × cos(0.89090066) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.62871189394233 × 6371000     		du = 384.009535673504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89096093)-sin(0.89090066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628665024539012-0.62871189394233)×R²
    abs(-0.45396244--0.45405831)×4.6869403317662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6869403317662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6869403317662e-05×40589641000000     		ar = 147446.55068426m²