Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28031 / 21831
↖ ↑ ↗
← N 51.375210°
W 26.021118°		 ← 381.30 m → N 51.375210°
W 26.015625°		 →
↑
381.30 m
↓
↑
381.30 m
↓
N 51.371780°
W 26.021118°		 ← 381.33 m →
145 398 m²		 N 51.371780°
W 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427726745605469 y=0.333122253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427726745605469 × 216)
    floor (0.427726745605469 × 65536)
    floor (28031.5)     		tx = 28031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333122253417969 × 216)
    floor (0.333122253417969 × 65536)
    floor (21831.5)     		ty = 21831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28031 / 21831 ti = "16/28031/21831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28031/21831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28031 ÷ 216
    28031 ÷ 65536     		x = 0.427719116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21831 ÷ 216
    21831 ÷ 65536     		y = 0.333114624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427719116210938 × 2 - 1) × π
    -0.144561767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45415419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333114624023438 × 2 - 1) × π
    0.333770751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04857174228911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45415419} λ = -0.45415419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04857174228911))-π/2
    2×atan(2.85357256912157)-π/2
    2×1.2337314426548-π/2
    2.4674628853096-1.57079632675     		φ = 0.89666656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45415419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.021118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89666656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.375210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28031 KachelY 21831 -0.45415419 0.89666656 -26.021118 51.375210
    Oben rechts KachelX + 1 28032 KachelY 21831 -0.45405831 0.89666656 -26.015625 51.375210
    Unten links KachelX 28031 KachelY + 1 21832 -0.45415419 0.89660671 -26.021118 51.371780
    Unten rechts KachelX + 1 28032 KachelY + 1 21832 -0.45405831 0.89660671 -26.015625 51.371780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89666656-0.89660671) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dl = 381.304349999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89666656-0.89660671) × R
    5.98499999999724e-05 × 6371000     		dr = 381.304349999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45415419--0.45405831) × cos(0.89666656) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624217683081945 × 6371000     		do = 381.304295552748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45415419--0.45405831) × cos(0.89660671) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.624264439804078 × 6371000     		du = 381.332856965662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89666656)-sin(0.89660671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624217683081945-0.624264439804078)×R²
    abs(-0.45405831--0.45415419)×4.67567221323906e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.67567221323906e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.67567221323906e-05×40589641000000     		ar = 145398.431906656m²