Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28031 / 14567
↖ ↑ ↗
← N 70.186965°
W 26.021118°		 ← 207.05 m → N 70.186965°
W 26.015625°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
N 70.185103°
W 26.021118°		 ← 207.07 m →
42 873 m²		 N 70.185103°
W 26.015625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427726745605469 y=0.222282409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427726745605469 × 216)
    floor (0.427726745605469 × 65536)
    floor (28031.5)     		tx = 28031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222282409667969 × 216)
    floor (0.222282409667969 × 65536)
    floor (14567.5)     		ty = 14567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28031 / 14567 ti = "16/28031/14567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28031/14567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28031 ÷ 216
    28031 ÷ 65536     		x = 0.427719116210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14567 ÷ 216
    14567 ÷ 65536     		y = 0.222274780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427719116210938 × 2 - 1) × π
    -0.144561767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45415419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222274780273438 × 2 - 1) × π
    0.555450439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74499901996928
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45415419} λ = -0.45415419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74499901996928))-π/2
    2×atan(5.72589586386473)-π/2
    2×1.39789497689088-π/2
    2.79578995378177-1.57079632675     		φ = 1.22499363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45415419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.021118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22499363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.186965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28031 KachelY 14567 -0.45415419 1.22499363 -26.021118 70.186965
    Oben rechts KachelX + 1 28032 KachelY 14567 -0.45405831 1.22499363 -26.015625 70.186965
    Unten links KachelX 28031 KachelY + 1 14568 -0.45415419 1.22496113 -26.021118 70.185103
    Unten rechts KachelX + 1 28032 KachelY + 1 14568 -0.45405831 1.22496113 -26.015625 70.185103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22499363-1.22496113) × R
    3.24999999998798e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22499363-1.22496113) × R
    3.24999999998798e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45415419--0.45405831) × cos(1.22499363) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338951966462436 × 6371000     		do = 207.049310362474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45415419--0.45405831) × cos(1.22496113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.338982542403024 × 6371000     		du = 207.067987721034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22499363)-sin(1.22496113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338951966462436-0.338982542403024)×R²
    abs(-0.45405831--0.45415419)×3.05759405877515e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.05759405877515e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.05759405877515e-05×40589641000000     		ar = 42873.046227414m²