Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 28030 / 14205
↖ ↑ ↗
← N 23.271627°
E127.946777°		 ← 1 122.25 m → N 23.271627°
E127.957764°		 →
↑
1 122.25 m
↓
↑
1 122.25 m
↓
N 23.261534°
E127.946777°		 ← 1 122.33 m →
1 259 494 m²		 N 23.261534°
E127.957764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.855422973632812 y=0.433517456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.855422973632812 × 215)
    floor (0.855422973632812 × 32768)
    floor (28030.5)     		tx = 28030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433517456054688 × 215)
    floor (0.433517456054688 × 32768)
    floor (14205.5)     		ty = 14205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 28030 / 14205 ti = "15/28030/14205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/28030/14205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28030 ÷ 215
    28030 ÷ 32768     		x = 0.85540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14205 ÷ 215
    14205 ÷ 32768     		y = 0.433502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.85540771484375 × 2 - 1) × π
    0.7108154296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.23309253
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433502197265625 × 2 - 1) × π
    0.13299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.417818017088409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.23309253} λ = 2.23309253}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417818017088409))-π/2
    2×atan(1.51864428194555)-π/2
    2×0.988481420585494-π/2
    1.97696284117099-1.57079632675     		φ = 0.40616651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.23309253} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 127.946777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40616651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.271627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28030 KachelY 14205 2.23309253 0.40616651 127.946777 23.271627
    Oben rechts KachelX + 1 28031 KachelY 14205 2.23328428 0.40616651 127.957764 23.271627
    Unten links KachelX 28030 KachelY + 1 14206 2.23309253 0.40599036 127.946777 23.261534
    Unten rechts KachelX + 1 28031 KachelY + 1 14206 2.23328428 0.40599036 127.957764 23.261534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40616651-0.40599036) × R
    0.000176149999999986 × 6371000     		dl = 1122.25164999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40616651-0.40599036) × R
    0.000176149999999986 × 6371000     		dr = 1122.25164999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.23309253-2.23328428) × cos(0.40616651) × R
    0.000191749999999935 × 0.918642145113662 × 6371000     		do = 1122.24930117467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.23309253-2.23328428) × cos(0.40599036) × R
    0.000191749999999935 × 0.918711726076322 × 6371000     		du = 1122.3343040097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40616651)-sin(0.40599036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918642145113662-0.918711726076322)×R²
    abs(2.23328428-2.23309253)×6.95809626598543e-05×R²
    0.000191749999999935×6.95809626598543e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.95809626598543e-05×40589641000000     		ar = 1259493.83049741m²