Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28027 / 7031
↖ ↑ ↗
← N 80.306255°
W 26.043091°		 ← 102.85 m → N 80.306255°
W 26.037598°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
N 80.305330°
W 26.043091°		 ← 102.86 m →
10 576 m²		 N 80.305330°
W 26.037598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427665710449219 y=0.107292175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427665710449219 × 216)
    floor (0.427665710449219 × 65536)
    floor (28027.5)     		tx = 28027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107292175292969 × 216)
    floor (0.107292175292969 × 65536)
    floor (7031.5)     		ty = 7031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28027 / 7031 ti = "16/28027/7031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28027/7031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28027 ÷ 216
    28027 ÷ 65536     		x = 0.427658081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7031 ÷ 216
    7031 ÷ 65536     		y = 0.107284545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427658081054688 × 2 - 1) × π
    -0.144683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45453768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107284545898438 × 2 - 1) × π
    0.785430908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46750397104277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45453768} λ = -0.45453768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46750397104277))-π/2
    2×atan(11.7929744792083)-π/2
    2×1.48620244523874-π/2
    2.97240489047749-1.57079632675     		φ = 1.40160856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45453768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40160856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.306255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28027 KachelY 7031 -0.45453768 1.40160856 -26.043091 80.306255
    Oben rechts KachelX + 1 28028 KachelY 7031 -0.45444181 1.40160856 -26.037598 80.306255
    Unten links KachelX 28027 KachelY + 1 7032 -0.45453768 1.40159242 -26.043091 80.305330
    Unten rechts KachelX + 1 28028 KachelY + 1 7032 -0.45444181 1.40159242 -26.037598 80.305330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40160856-1.40159242) × R
    1.61399999998313e-05 × 6371000     		dl = 102.827939998925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40160856-1.40159242) × R
    1.61399999998313e-05 × 6371000     		dr = 102.827939998925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45453768--0.45444181) × cos(1.40160856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168381768674167 × 6371000     		do = 102.845524997148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45453768--0.45444181) × cos(1.40159242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.168397678203012 × 6371000     		du = 102.855242342793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40160856)-sin(1.40159242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168381768674167-0.168397678203012)×R²
    abs(-0.45444181--0.45453768)×1.59095288444489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59095288444489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59095288444489e-05×40589641000000     		ar = 10575.893081339m²