Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28026 / 9582
↖ ↑ ↗
← N 77.638894°
W 26.048584°		 ← 130.77 m → N 77.638894°
W 26.043091°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
N 77.637718°
W 26.048584°		 ← 130.78 m →
17 096 m²		 N 77.637718°
W 26.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427650451660156 y=0.146217346191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427650451660156 × 216)
    floor (0.427650451660156 × 65536)
    floor (28026.5)     		tx = 28026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146217346191406 × 216)
    floor (0.146217346191406 × 65536)
    floor (9582.5)     		ty = 9582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28026 / 9582 ti = "16/28026/9582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28026/9582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28026 ÷ 216
    28026 ÷ 65536     		x = 0.427642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9582 ÷ 216
    9582 ÷ 65536     		y = 0.146209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146209716796875 × 2 - 1) × π
    0.70758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22292990918124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45463356} λ = -0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22292990918124))-π/2
    2×atan(9.23434706730283)-π/2
    2×1.46292532489-π/2
    2.92585064978-1.57079632675     		φ = 1.35505432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35505432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.638894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28026 KachelY 9582 -0.45463356 1.35505432 -26.048584 77.638894
    Oben rechts KachelX + 1 28027 KachelY 9582 -0.45453768 1.35505432 -26.043091 77.638894
    Unten links KachelX 28026 KachelY + 1 9583 -0.45463356 1.35503380 -26.048584 77.637718
    Unten rechts KachelX + 1 28027 KachelY + 1 9583 -0.45453768 1.35503380 -26.043091 77.637718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35505432-1.35503380) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dl = 130.732920000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35505432-1.35503380) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dr = 130.732920000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45463356--0.45453768) × cos(1.35505432) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.214072292625437 × 6371000     		do = 130.766376777231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45463356--0.45453768) × cos(1.35503380) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.214092336882033 × 6371000     		du = 130.778620841038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35505432)-sin(1.35503380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214072292625437-0.214092336882033)×R²
    abs(-0.45453768--0.45463356)×2.00442565959358e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.00442565959358e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.00442565959358e-05×40589641000000     		ar = 17096.2706257359m²