Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 28026 / 7032
↖ ↑ ↗
← N 80.305330°
W 26.048584°		 ← 102.87 m → N 80.305330°
W 26.043091°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
N 80.304405°
W 26.048584°		 ← 102.88 m →
10 585 m²		 N 80.304405°
W 26.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427650451660156 y=0.107307434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427650451660156 × 216)
    floor (0.427650451660156 × 65536)
    floor (28026.5)     		tx = 28026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107307434082031 × 216)
    floor (0.107307434082031 × 65536)
    floor (7032.5)     		ty = 7032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28026 / 7032 ti = "16/28026/7032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28026/7032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28026 ÷ 216
    28026 ÷ 65536     		x = 0.427642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7032 ÷ 216
    7032 ÷ 65536     		y = 0.1072998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1072998046875 × 2 - 1) × π
    0.785400390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46740809724353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45463356} λ = -0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46740809724353))-π/2
    2×atan(11.7918438961382)-π/2
    2×1.48619437315755-π/2
    2.97238874631511-1.57079632675     		φ = 1.40159242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40159242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.305330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28026 KachelY 7032 -0.45463356 1.40159242 -26.048584 80.305330
    Oben rechts KachelX + 1 28027 KachelY 7032 -0.45453768 1.40159242 -26.043091 80.305330
    Unten links KachelX 28026 KachelY + 1 7033 -0.45463356 1.40157627 -26.048584 80.304405
    Unten rechts KachelX + 1 28027 KachelY + 1 7033 -0.45453768 1.40157627 -26.043091 80.304405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40159242-1.40157627) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dl = 102.891649999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40159242-1.40157627) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dr = 102.891649999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45463356--0.45453768) × cos(1.40159242) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168397678203012 × 6371000     		do = 102.865970958865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45463356--0.45453768) × cos(1.40157627) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.168413597545153 × 6371000     		du = 102.875695312573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40159242)-sin(1.40157627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168397678203012-0.168413597545153)×R²
    abs(-0.45453768--0.45463356)×1.59193421412629e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.59193421412629e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.59193421412629e-05×40589641000000     		ar = 10584.5497583597m²