Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 28026 / 21938
↖ ↑ ↗
← N 51.006842°
W 26.048584°		 ← 384.36 m → N 51.006842°
W 26.043091°		 →
↑
384.36 m
↓
↑
384.36 m
↓
N 51.003386°
W 26.048584°		 ← 384.39 m →
147 741 m²		 N 51.003386°
W 26.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 28026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427650451660156 y=0.334754943847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427650451660156 × 216)
    floor (0.427650451660156 × 65536)
    floor (28026.5)     		tx = 28026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334754943847656 × 216)
    floor (0.334754943847656 × 65536)
    floor (21938.5)     		ty = 21938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 28026 / 21938 ti = "16/28026/21938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/28026/21938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 28026 ÷ 216
    28026 ÷ 65536     		x = 0.427642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21938 ÷ 216
    21938 ÷ 65536     		y = 0.334747314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334747314453125 × 2 - 1) × π
    0.33050537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03831324577042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45463356} λ = -0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03831324577042))-π/2
    2×atan(2.82444884308323)-π/2
    2×1.23051683273088-π/2
    2.46103366546176-1.57079632675     		φ = 0.89023734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89023734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.006842°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 28026 KachelY 21938 -0.45463356 0.89023734 -26.048584 51.006842
    Oben rechts KachelX + 1 28027 KachelY 21938 -0.45453768 0.89023734 -26.043091 51.006842
    Unten links KachelX 28026 KachelY + 1 21939 -0.45463356 0.89017701 -26.048584 51.003386
    Unten rechts KachelX + 1 28027 KachelY + 1 21939 -0.45453768 0.89017701 -26.043091 51.003386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89023734-0.89017701) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dl = 384.362429999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89023734-0.89017701) × R
    6.03299999999418e-05 × 6371000     		dr = 384.362429999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45463356--0.45453768) × cos(0.89023734) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629227578639394 × 6371000     		do = 384.364597668661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45463356--0.45453768) × cos(0.89017701) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629274467243847 × 6371000     		du = 384.393239642086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89023734)-sin(0.89017701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629227578639394-0.629274467243847)×R²
    abs(-0.45453768--0.45463356)×4.68886044525663e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68886044525663e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68886044525663e-05×40589641000000     		ar = 147740.815259699m²